二維DCT變換

DCT（Discrete Consine Transform），又叫離散餘弦變換，它的第二種類型，經常用于信号和圖像資料的壓縮。經過DCT變換後的資料能量非常集中，一般隻有左上角的數值是非零的，也就是能量都集中在離散餘弦變換後的直流和低頻部分。

1. 一維DCT變換

一維DCT變換共有8中，其中最實用的是第二種形式，公式如下：

F(u)=c(u)∑i=0N−1f(i)cos[(i+0.5)πNu]

c(u)=⎧⎩⎨⎪⎪1N−−√,2N−−√,u=0u≠0

其中c(u)就是加上去一個系數，為了能使DCT變換變成正交矩陣。N是f(x)的總數。

2. 二維DCT變換

二維DCT變換是在一維的基礎上再進行一次DCT變換，公式如下：

F(u,v)=c(u)c(v)∑i=0N−1∑i=0N−1f(i,j)cos[(i+0.5)πNu]cos[(i+0.5)πNv]

這裡隻讨論了兩個N相等的情況，也就是資料是方陣的形式，在實際應用中對不是方陣的資料都是先補齊再進行變換的。

寫成矩陣形式：

F=AfAT

A(i,j)=c(i)cos[(j+0.5)πNi]

用MATLAB進行驗證：

clear;
clc;

X = round(rand(4) * 100);  % 生成随機資料
A = zeros(4);  % 變換矩陣

for i = 0 : 3
    if i == 0
            c = sqrt(1/4);
        else
            c = sqrt(2/4);
    end
    for j = 0 : 3
        A(i + 1, j + 1) = c * cos(pi * (j + 0.5) * i / 4);
    end
end

Y = A * X * A';  % DCT變換
YY = dct2(X);  % 使用MATALAB函數進行DCT變換

disp('使用公式進行DCT變換：')
disp(Y)
disp('使用MATLAB函數DCT變換：')
disp(YY)      

輸入結果：

使用公式進行DCT變換：
  204.7500   -2.5322   27.2500   24.5909
   32.1461    3.7448  -20.9667   24.5450
   54.2500   -1.9287   -2.2500  -24.9079
   12.9327  -40.4550  -25.1401    9.7552

使用MATLAB函數DCT變換：
  204.7500   -2.5322   27.2500   24.5909
   32.1461    3.7448  -20.9667   24.5450
   54.2500   -1.9287   -2.2500  -24.9079
   12.9327  -40.4550  -25.1401    9.7552      

3. 二維DCT逆變換

DCT逆變換的公式如下：

f(i,j)=∑u=0N−1∑v=0N−1c(u)c(v)F(u,v)cos[(i+0.5)πNu]cos[(j+0.5)πNv]

c(u)=⎧⎩⎨⎪⎪1N−−√,2N,−−−√u=0u≠0

矩陣形式的變換公式推到如下：

F=AfAT∵A−1=AT∴f=A−1F(AT)−1=ATFA

用MATALAB進行驗證：

clear;
clc;

X = round(rand(4) * 100);  % 生成随機資料
A = zeros(4);  % 變換矩陣

for i = 0 : 3
    if i == 0
            c = sqrt(1/4);
        else
            c = sqrt(2/4);
    end
    for j = 0 : 3
        A(i + 1, j + 1) = c * cos(pi * (j + 0.5) * i / 4);
    end
end

Y = A * X * A';  % DCT變換
XX = A'* Y* A;  % DCT逆變換

disp('原始矩陣：')
disp(X)
disp('使用公式進行DCT逆變換：')
disp(XX)
disp('使用MATLAB函數DCT逆變換：')
disp(idct2(Y))      

輸出結果：

原始矩陣：
    28    69    44    19
     5    32    38    49
    10    95    77    45
    82     3    80    65

使用公式進行DCT逆變換：
   28.0000   69.0000   44.0000   19.0000
    5.0000   32.0000   38.0000   49.0000
   10.0000   95.0000   77.0000   45.0000
   82.0000    3.0000   80.0000   65.0000

使用MATLAB函數DCT逆變換：
   28.0000   69.0000   44.0000   19.0000
    5.0000   32.0000   38.0000   49.0000
   10.0000   95.0000   77.0000   45.0000
   82.0000    3.0000   80.0000   65.0000      

4. DCT變換的可分離性

DCT變換是可分離的變換。通常根據可分離性，二維DCT可用兩次一維DCT變換來完成，即

f(x,y)→F行[f(x,y)]=F(x,v)→F(x,v)T→F列[f(x,v)T]=F(u,v)T→F(u,v)

先進行行變換，再進行列變換和先進行列變換，再進行行變換的結果是一樣的。

Python scipy子產品中的fftpack.dct()函數提供了一維DCT變換功能（預設是沿着矩陣的最後一個axis進行變換），下面使用Python代碼進行驗證。

import numpy as np
from scipy import fftpack


def dct(mat2x2):
    return fftpack.dct(fftpack.dct(mat2x2, norm='ortho').T, norm='ortho').T


def dct2(mat2x2):
    return fftpack.dct(fftpack.dct(mat2x2.T, norm='ortho').T, norm='ortho')


if __name__ == '__main__':
    sample = np.random.rand(3, 3)
    print('先進行行變換，再進行列變換：')
    print(dct(sample))
    print('先進行列變換，再進行行變換：')
    print(dct2(sample))      

輸出結果：

先進行行變換，再進行列變換：
[[ 1.3763706  -0.42355794  0.03903157]
 [-0.18270004  0.06454257 -0.05273778]
 [ 0.16962548  0.22247218 -0.06953193]]
先進行列變換，再進行行變換：
[[ 1.3763706  -0.42355794  0.03903157]
 [-0.18270004  0.06454257 -0.05273778]
 [ 0.16962548  0.22247218 -0.06953193]]      

5. DCT用于圖像壓縮

對于二維灰階圖像進行DCT變換，就能得到圖像的頻譜圖：低階（變化幅度小）的部分反映在DCT的左上方，高階（變化幅度大）的部分反映在DCT的右下方。由于人眼對高階部分不敏感，依靠低階部分就能基本識别出圖像内容，是以JPEG進行壓縮的時候，基本上隻存儲DCT變換後的左上部分，而右下部分則直接丢棄。

MATALAB代碼驗證：

clear;
clc;

im = imread('https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/2/24/Lenna.png');  % 讀入圖像
figure(),
subplot(221),
imshow(im);
title('原始彩色圖像');


grayim = rgb2gray(im);
dctim = dct2(grayim);
subplot(222),
% imshow(I,[]) displays the grayscale image I scaling the display based on the range of pixel values in I.
imshow(log(abs(dctim)), []),
title('DCT變換圖像');

idctim = idct2(dctim);
subplot(223),
imshow(idctim, [])
title('DCT逆變換圖像');

subplot(224),
imshow(grayim)
title('原始灰階圖像');      

運作結果：

參考文獻