一、概念
辛普森積分是數值積分的一種，是中點公式和梯形公式的改進。
二、解析
假定我們要求如下定積分：
略微懂一點微積分知識的都知道，對于一個黎曼可積的函數，我們要求其在某個閉區間上的定積分，要先求該函數的不定積分，即先求原函數。就是找到一個函數 F(x)，使得 F′(x)=f(x)，然後根據牛頓—萊布尼茨公式去搞。即：
而有時候原函數并不好求，比如要求原的函數長得很複雜，要求的原函數非初等函數。這時我們需要“避其鋒芒”，采用一種利用“近似”思想的方法。
我們都知道定積分就是曲線 f(x) 下方的面積(假設 f(x) 恒大于 0 )，我們考慮一種近似求出曲線下方面積的方法——辛普森法。
我們先在區間[a,b]中等距地取奇數個點a=x0,x1,x2,...,xn=b，相鄰兩點間的距離為Δx，再設yi=f(xi)，然後套用公式：
點取得越多，近似程度就越高，但計算量也越大。當隻取三個點的時候，有：
這就是三點辛普森公式，又簡稱辛普森公式。
然而如果隻取三個點誤差肯定大，取太多的點計算量也會上去。那麼到底取多少個點合适呢？
還好辛普森積分有一個重要的“變種”，稱為自适應辛普森法(adaptive Simpson’s rule)，我們設定一個精度Eps，讓算法根據具體情況遞歸的劃分區間，容易近似的地方少劃幾份，不容易近似的地方多劃幾份。這就是所謂的“自适應”。
具體的話，就是設區間 [a,b] 的中點為 c，則當且僅當：
時(加==亦可)直接傳回結果，否則遞歸調用，再次劃分區間。遞歸調用時精度Eps也要相應地減小一半。 Ps：
三、總結
四、代碼
double f(double x)
{
return b * sqrt(1 - (x * x) / (a * a)); // 寫要求辛普森積分的函數，如：橢圓公式 y 表達式
}
double simpson(double a, double b) // 三點辛普森積分法，要求f(x)是全局函數
{
double c = a + (b - a) / 2;
return (f(a) + 4 * f(c) + f(b)) * (b - a) / 6;
}
double integral(double L, double R, double Eps) // 自适應辛普森積分遞歸過程
{
// 這裡 mid 不能定義為全局變量，因為最後一條 return 有兩個 mid 若是全局，第二個遞歸的 mid 會有更換
double mid = L + (R - L) / 2;
double ST = simpson(L, R), SL = simpson(L, mid), SR = simpson(mid, R);
if(fabs(SL + SR - ST) <= 15 * Eps) return SL + SR + (SL + SR - ST) / 15; // 直接傳回結果
// 若這裡直接 return ST; 會 WA
return integral(L, mid, Eps/2) + integral(mid, R, Eps/2); // 對半劃分區間
}