[csa round#1]Number Elimination——動态規劃+計數

題目大意：

你有 n n n個方塊排成一排，每個方塊有一個權值 a i a_i ai​，你每次可以選擇一個二進制組 ( x , y ) x &lt; y (x,y) x&lt;y (x,y)x<y，并消除x和y中權值較小的那個方塊，如果二者權值相同則消除标号較小的那個，産生 m a x ( a x , a y ) max(a_x,a_y) max(ax​,ay​)的費用。你每次選擇的二進制組中不能選擇已經被消除的方塊。最後這一排方塊隻會剩下一個，遊戲目标是使費用最少。

求可以使費用最小的方案數。

思路：

為了使費用最小，可以發現相同的數一定是要在一起消，直到隻剩一個。

同時對于不同的數之間，我們要消除一個數的話，這個數必定隻剩下一個，并且比這個數小的數都要在之前消完。

不同的種類一定是從小到大的順序消完，于是我們設dp[i]為前i個種類消完的方案數，每一次将一個種類添加進去來轉移。

這裡需要預處理一個種類自身消除的方案數 f [ i ] f[i] f[i]（i為集合大小） = f [ i − 1 ] × i × ( i − 1 ) / 2 =f[i-1]\times i \times (i-1)/2 =f[i−1]×i×(i−1)/2。

于是在dp[i]的時候枚舉第i個種類的物品在i-1種最後一個消完之前消完的數量j，用隔闆法來計算前j個放置的位置，可得dp方程為：

d p i = ∑ j = 0 s z i − 1 × f i − 1 × ( s u m i − 1 + j − 1 j ) × ( s z i − j ) dp_{i}=\sum_{j=0}^{sz_i-1}\times f_{i-1}\times {sum_{i-1}+j-1\choose j}\times(sz_i-j) dpi​=j=0∑szi​−1​×fi−1​×(jsumi−1​+j−1​)×(szi​−j)

直接轉移即可。

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
	freopen("out.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
	T __=0,mul=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')mul=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
	_=__*mul;
}

const int maxn=1e5+10;
const ll mod=1e9+7;
int n,a[maxn],b[maxn],tot,cnt[maxn];
ll fac[maxn],ifac[maxn],f[maxn],dp[maxn],sum[maxn];

ll qpow(ll x,ll y){
	ll ret=1; x%=mod;
	while(y){
		if(y&1)ret=ret*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}

ll C(ll x,ll y){return fac[x]*ifac[y]%mod*ifac[x-y]%mod;}

int main(){
//	File();
	read(n);
	REP(i,1,n)read(a[i]),b[++tot]=a[i];

	sort(b+1,b+tot+1);
	tot=unique(b+1,b+tot+1)-b-1;
	REP(i,1,n)a[i]=lower_bound(b+1,b+tot+1,a[i])-b;

	fac[0]=1;
	REP(i,1,n)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
	DREP(i,n-1,0)ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;

	REP(i,1,n)++cnt[a[i]];

	f[0]=1;
	ll inv2=qpow(2,mod-2);
	REP(i,1,n)f[i]=f[i-1]*i%mod*(i+1)%mod*inv2%mod;

	dp[1]=f[cnt[1]-1];
	REP(i,2,tot){
		sum[i-1]=sum[i-2]+cnt[i-1];
		REP(j,0,cnt[i]-1)
			dp[i]=(dp[i]+dp[i-1]*C(sum[i-1]+j-1,j)%mod*(cnt[i]-j)%mod)%mod;
		dp[i]=dp[i]*f[cnt[i]-1]%mod;
	}

	printf("%lld\n",dp[tot]);
	return 0;
}