例1： 在一次住房展銷會上,與房地産商簽訂初步購房意向書的共有名
顧客,在随後的3個月的時間内,隻有一部分顧客确實購買了房屋.購買了房屋的顧客記為1,沒有購買房屋的顧客記為0,以顧客的年家庭收入為自變量x,對下面表所示的資料,
x n m p y
1 1.5 25 8 0.32 -0.753771802
2 2.5 32 13 0.40625 -0.379489622
3 3.5 58 26 0.448275862 -0.207639365
4 4.5 52 22 0.423076923 -0.310154928
5 5.5 43 20 0.465116279 -0.139761942
6 6.5 39 22 0.564102564 0.257829109
7 7.5 28 16 0.571428571 0.287682072
8 8.5 21 12 0.571428571 0.287682072
9 9.5 15 10 0.666666667 0.693147181
其中，x為年家庭收入（萬元），n為簽訂意向書人數，m為實際購房人數，
，
. 試建立Logistic回歸模型.
(1) Logistic回歸模型 作Logistic 變換可得
.令
,
為
條件下
的頻率, 那麼
為
的估計。令
，則
為
估計。令
為估計誤差，這樣便有
R實作
x<-c(1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9.5)
n<-c(25, 32, 58, 52, 43, 39, 28, 21, 15)
m<-c(8 , 13, 26, 22, 20, 22, 16, 12, 10 )
p<-m/n
logit<-log(p/(1-p))
summary(lm(logit~x))
--------------------------
R 實作結果Call:
lm(formula = logit ~ x)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.150322 -0.110376 0.005474 0.117288 0.133341
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.88627 0.10242 -8.653 5.50e-05 ***
x 0.15580 0.01686 9.242 3.59e-05 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.1306 on 7 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9243, Adjusted R-squared: 0.9134
F-statistic: 85.42 on 1 and 7 DF, p-value: 3.588e-05
----------------------
結果解釋： .
Logistic回歸模型為 利用該模型可以對購房機率進行預測。例如當
=0.59
進而可知年收入8萬元的家庭預計實際購房比例為59%。
2.未
組資料的Logistic回歸在一次關于在一次關于公共交通的社會調查中，一個調查項目是“是乘坐公共汽車上下班，還是騎自行車上下班”。因變量y=1表示要乘坐公共汽車上下班，y=0表示要乘自行車上下班。自變量x1是年齡，作為連續型變量；x2是月收入；x3是性别，x3=1表示男性，x3=0表示女性。調查對象為工薪族群體，資料如下表。試建立y與自變量間的Logistic回歸。
num x3 x1 x2 y num x 3 x1 x3 y
1 0 18 850 0 15 1 20 1000 0
2 0 21 1200 0 16 1 25 1200 0
3 0 23 850 1 17 1 27 1300 0
4 0 23 950 1 18 1 28 1500 0
5 0 28 1200 1 19 1 30 950 1
6 0 31 850 0 20 1 32 1000 0
7 0 36 1500 1 21 1 33 1800 0
8 0 42 1000 1 22 1 33 1000 0
9 0 46 950 1 23 1 38 1200 0
10 0 48 1200 0 24 1 41 1500 0
11 0 55 1800 1 25 1 45 1800 1
12 0 56 2100 1 26 1 48 1000 0
13 0 58 1800 1 27 1 52 1500 1
14 1 18 850 0 28 1 56 1800 1
(1) Logistic 回歸模型
因變量
為0-1型變量，在
已知的條件下，y服從貝努力分布。令
,建立Logistic 回歸模型
顯然
的機率分布為
.
(2)參數
的極大似然估計
的似然函數為
其中
.
(3)R實作
>datax<-read.table("clipboard",header=T)
#資料讀入到data3.1中
>glm.logit<-glm(y~x1+x2+x3,family=binomial,data=datax)
#建立y關于x的logistic回歸模型,資料為data3.1
>summary(glm.logit)
#模型彙總,給出模型回歸系數的估計和顯著性檢驗等
結果顯示：
------------------------
Call:
glm(formula
= y ~ x1 + x2 + x3, family = binomial, data = data3.1)
Deviance
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.1090 -0.7486 -0.2850 0.7011 2.1683
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -3.655016 2.091218 -1.748 0.0805 .
x1 0.082168 0.052119 1.577 0.1149
x2 0.001517 0.001865 0.813 0.4160
x3 -2.501844 1.157815 -2.161 0.0307 *
Signif.
codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 38.673 on 27 degrees of freedom
Residual
deviance: 25.971 on 24 degrees of freedom
AIC:
33.971
Number
of Fisher Scoring iterations: 5
－－－－－－－－－－－－－
結果解釋與分析：
輸出結果中x2最不顯著，決定将其剔除。用y對性别和年齡兩個自變量作回歸，R程式和輸出的結果分别為：
>glm.logit<-glm(y~x1+x3,family=binomial,data=datax)
>summary(glm.logit)
－－－－－－－－－－－－
Coefficients:
Estimate Std. Error z value
Pr(>|z|)
(Intercept) -2.6285 1.5537 -1.692 0.0907 .
x1 0.1023 0.0458 2.233 0.0256 *
x3 -2.2239 1.0476 -2.123 0.0338 *
---
Signif.
codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
－－－－－－－－－－－－
結果分析與解釋：
可以看出，x3,x1都是顯著的。Logistic回歸方程為