find函數matlab_【重點】分數階微積分和分數階微分方程數值實驗（6）——Mittag-Leffler函數...

參考文獻

薛定宇《分數階微積分學與分數階控制》

數值實作

Matlab 2019a 主要基于薛定宇開發的FOTF工具箱

蜜酒廳通訊社 固體地球實體學部

封面及文中照片感謝 @CycleUser 友情提供

前情回顧

形式主義的居士：分數階微積分和分數階微分方程數值實驗（5）——超幾何函數​zhuanlan.zhihu.com

Mittag-Leffler函數

一、單參數Mittag-Leffler函數

1.定義：

其中

，

為複數集合，且無窮級數的收斂條件為

。

2.Matlab實作 mittag_leffler.m

function
           

（1）用符号運算的方式推導幾個Mittag-Leffler公式 1）調用函數

% 薛定宇《分數階微積分學與分數階控制》 p21 例2.14
           

視窗

E_1 =
 
exp(z)
 
 
E_2 =
 
cosh(z^(1/2))
 
 
E_1_2 =
 
2*symsum(z^k/(k*gamma(k/2)), k, 0, Inf)
 
 
E_1_3 =
 
3*symsum(z^k/(k*gamma(k/3)), k, 0, Inf)
 
 
E_3 =
 
hypergeom([], [1/3, 2/3], z/27)
 
 
E_4 =
 
hypergeom([], [1/4, 1/2, 3/4], z/256)
 
 
E_5 =
 
hypergeom([], [1/5, 2/5, 3/5, 4/5], z/3125)
 
           

2）累加計算 mittag_leffler_function.m

%   累加計算Mittag-Leffler函數的數值解
           

mlf.m

Mittag-Leffler function - File Exchange - MATLAB Central​ww2.mathworks.cn

試繪制出不同

參數的Mittag-Leffler函數

的曲線

% 薛定宇《分數階微積分學與分數階控制》 p22 例2.15
           

圖像

二、雙參數Mittag-Leffler函數

1.定義：

其中，

，且無窮級數對

收斂的條件為

。

2.定理： （1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）雙參數Mittag-Leffler函數的一些性質

3.Matlab實作 （1）一些特殊的單參數或雙參數Mittag-Leffler函數可以直接由Matlab推導出來，試推導

和

。

% 薛定宇《分數階微積分學與分數階控制》 p24 例2.16
           

圖像

E_1/2,4(z)函數的解析解與數值解

解析解和數值解完全一緻。

（2）試繪制Mittag-Leffler函數

和

的曲線。

% 薛定宇《分數階微積分學與分數階控制》 p25 例2.17
           

圖像

雙參數Mittag-Leffler函數的曲線

（3）如果

為複數變量，試繪制函數

實部對應的表面圖。

% 薛定宇《分數階微積分學與分數階控制》 p25 例2.18
           

圖像

Mittag-Leffler函數E_{0.8,0.9}(z)實部的表面圖

三、多參數Mittag-Leffler函數

1.定義：

（1）一般情況下，3參數和4參數Mittag-Leffler函數可以分别定義為：

式中，

，對任意

，無窮級數的收斂條件為

，且

，

為整數集合，而

又稱為Pochhammer符号。

（2）多參數Mittag-Leffler函數可以一般地定義為：

式中，

2.定理：

雙參數Mittag-Leffler函數是3參數Mittag-Leffler函數的一個特例，而3參數函數又是4參數Mittag-Leffler函數的一個特例：

四、Mittag-Leffler函數的導數

1.定理

（1）雙參數Mittag-Leffler函數

的

階導數可以表示為：

（2）下面的條件對雙參數Mittag-Leffler函數成立：

（3）4參數Mittag-Leffler函數

的

階導數滿足下式：

（4）特别地，雙參數Mittag-Leffler函數的

階導數滿足下式：

（5）Mittag-Leffler函數的導數有各種各樣的性質，例如，對任意正整數

，下列方程成立：

2.數值運算

f 
           

局限性：

（1）這裡采用的累加階段算法的優點是速度快，但該方法有時會發散，這時程式會自動調用嵌入的mlf( )函數來計算，不過該方法有時速度很慢，另外由于其本身的局限性，隻能求解單參數或雙參數的Mittag-Leffler函數，且不能求解其導數；

（2）因為某些Mittag-Leffler的函數的導數不能由mittag_leffler_function( )函數求解，這時建議用數值微分的方法來求，可以使用後面介紹的高精度數值微分函數；

（3）由于mittag_leffler_function函數調用的gamma( )隻能處理實數變元，是以若想處理複數變元時應該用gamma_complex( )取代。

3.Matlab數值實作 試繪制Mittag-Leffler函數

和

的曲線。

% 薛定宇《分數階微積分學與分數階控制》 p30 例2.19
           

圖像

Mittag-Leffler函數曲線

@CycleUser