Auto Control 003 自動控制原理 自動控制的數學模型 ---執行個體講解

這篇部落格，在上一篇的基礎上，針對 自動控制的數學模型 的重要考點，舉一些典型的例題，加以解析，鞏固大家對 自動控制的數學模型的掌握。

PID調節器 — 自動控制原理中最簡單、最經典、最有用的調節器

我們先來看第一道題：

一有源網絡如下圖所示，要求：

1. 寫出系統的微分方程；
2. 求系統的傳遞函數；
3. 說明此電網絡在校正中的作用。

解：

這一道題，給了一個有源網絡，要求建立它的兩種形式的數學模型（一種是在時域當時所對應的微分方程；還有一種是複頻域當中所對應的傳遞函數）。并且讓我們分析：如果這個電網絡放在了系統當中，将會給系統的性能産生何種的校正作用。

這種類型的題，我們會經常見到。要麼是以有源網絡的形式，要麼是以無源網絡的形式出現。 要解決這樣的一類問題，一般有兩種方法。

第一種方法：先寫出在時域中所對應的微分方程組。比如是針對這樣的有源網絡而言，我們要充分利用到這個理想運算放大器它的續斷和虛段的原理，根據：流入A節點的電流和流出這個節點的電流相同，同時在運算放大器的同向和反向輸入端又沒有電流流入。這樣的話，我們可以在時域當中列出它的方程，然後消去中間變量。最終得到一個隻和輸入和輸出有關的微分方程。

還有一種方法，是我們在上一篇部落格當中提醒大家，在考試中經常會使用到的方法。這種方式是這樣的：不管是有源還是無源網絡，我們都可以利用複阻抗的方法，将電網絡當中所對應的電阻、電感、電容用複阻抗來表示，然後用運算法直接列出複頻域當中所對應的方程組，然後在直接的消元或者結合框框圖，求出系統的傳遞函數。

一般情況下，遇到的電網絡，不管是有源還是無源，我們都提議使用第二種方法會比較簡單。

我們現在來看看這道題。對于這樣的有源網絡而言。由于表述這個系統的數學模型：微分方程和傳遞函數之間是可以互相轉換的，是以我們不管是求出來哪一種形式的數學模型，傳遞函數也好、微分方程也好，隻要求出來一種，另外一種也就沒有問題了。對于這樣道題，我們來看看。

首先我們把這個有源網絡當中所有的R、C 全部用 複阻抗 的形式來表示。所對應的電阻是不變的，而電容将它轉換為 1CS 。這樣，不管是輸出信号、輸入信号就都可以使用複頻域的形式來表示了。

當把電路轉換為這樣的形式之後，我們就可以接着往下做了。對于 A 點而言，由于流入它的電流等于流出它的電流。是以我們有：

ur(s)−uA(s)R3=uA(s)−u1(s)R1+1C1S

（這樣就得到的複頻域裡面的第一個方程了。）

我們在往下看 ，對于C點而言，這是一個電網絡，是以對于C 點，我們一樣可以利用基爾霍夫電流定律：流入 C 點的電流應該等于流出 C 點的電流之和。

uA(s)−u1(s)R1+1C1S=u1(s)−01C2S+u1(s)−uC(s)R2

這樣對于 A 和 C 這兩點而言，我們都列寫出來的它們所對應的電流平衡方程，而理想的有源運放同時又滿足：A 點 和 B 點 是等電位的，等于0。

uA=uB=0

這樣的話，由這樣的三個方程，我們消去中間變量， u1(s) 、 uA(s) ，這樣可以得到下面的關系式：

這裡有一個負号，這裡我們要做一個特别說明 ：由于現在這個題中的有源運放的輸入信号是加在反向輸入端（ − ），是以會有一個負号存在，但是這樣的一個元器件，或者說這樣的一個有源網絡加在電路當中以後，我們知道信号一旦進過它（有源運放的反向輸入端）以後，會産生一個反向作用就可以了，我們并不需要再傳遞函數當中額外的留意負号的存在，是以這個傳遞函數，我們可以進一步将它化簡為：

系統的傳遞函數，最終化簡得到：

一旦這個有源網絡給定了，是以 R1、R2、R3的參數也就确定下來了。是以這個組合，隻要有源網絡不變，它們的 組合的值就不會發生改變，在典型環節當中，我們認為它是一個比例環節 （P）

而公式中間的部分，我們觀察它，它是一個：一個常數 乘以 一個所對應的微分環節，我們在典型環節中把它叫做：微分環節（D = (KIS)）

在來看最後一部分，我們可以将它寫做： KI1s 。相當于一個積分常數 與 積分環節相乘。典型環節當中，我們把它叫做積分環節（I）。

是以，這樣的一個有源網絡，它們組合起來以後，形成了一個經典控制理論當中最重要的調節器：我們把它叫做：PID調節器。

這個PID可以這樣來了解：在經典控制理論當中，我們所有的問題基本上，都是圍繞着這樣的一種調節器展開的，而這種調節器在整個控制領域的應是非常非常的廣泛。

好，現在我們已經建立了這個圖中有源網絡的傳遞函數，并且分析了這樣一個有源網絡在系統當中實際上就是一個PID調節器。那麼這個PID調節器的每一個部分對系統性能的影響表現在哪裡呢？

首先，我們來看P 比例部分。比例部分的存在可以改變一個系統的系統增益，而一個系統的系統增益發生了改變，那麼所對應的穩态性能（比如說：是否穩定），或者穩态誤差的大小，都有可能會改變。

而微分部分的存在，它可以加快系統的響應速度。

而積分 部分的存在，它可以降低系統的誤差。

是以，每一個部分在系統中的影響，你需要格外的清楚，當然PID調節器，我們在日後的部落格中，還會再次介紹。

當我們建立起來了系統的傳遞函數以後，再想求它時域當中的數學模型 — 微分方程，就沒有什麼困難了。我們可以将傳遞函數當中所有的 複變量s用微分算子 來代替。也就是說，把所有的s置換成 ddt←s

我們可以得到傳遞函數

将上面的比例部分使用 KP 來表示、微分部分使用 KDs 來表示、積分部分使用 KI1s 來表示。

φ(s)=uc(s)ur(s)=KP+KDs+KI1s

現在，我們就可以還原回時域當中。這樣，我們就可以得到時域當中所對應的微分方程：

uc(t)=KPur(t)+KDdur(t)dt+KI∫ur(t)dt

（當然，在微分方程當中，積分符号的存在，在微分方程中是不常見的。是以，我們可以對微分方程的兩側再求一次導。）

可以得到：

duc(t)dt=KPdur(t)dt+KDd2ur(t)dt2+KIur(t)

那這樣是一個微分方程是不是我們時域當中微分方程的标準形式呢？不是。

微分方程應該在右側的公式裡面，通過求導從高到底的形式來表示。

duc(t)dt=KDd2ur(t)dt2+KPdur(t)dt+KIur(t)

是以現在，我們得到了一個二階的常系數的線性的微分方程。這是這個有源網絡在時域當中所對應的數學模型（微分方程）。

第2道

我們上一篇部落格裡面有說過：如何來建立系統的動态結構圖。我們說過：可以分兩步走：第一步：化整為零；第二步：積零為整。

所謂化整為零：把一個複雜的系統劃分為若幹個子系統，列出來每一個子系統所對應的微分方程或者複頻域當中的代數方程。要注意的是：前後兩個子系統之間是不是存在信号的彼此聯系，也就是說：後一個子系統是不是前一個子系統所對應的負載。在完成了化整為零這一步之後，就開始做積零為整這一步，我們需要按照信号流動的單向性把我們所對應的環節互相連接配接起來，構成我們整個系統的動态結構圖。

我們現在解的這道典型例題，系統不再是以原理圖的形式給你了。而是以微分方程或者是代數方程的形式給你的，那麼系統的微分方程一旦了解以後，我們應如何建立系統的動态結構圖？并且進一步求取系統的傳遞函數呢？并且在傳遞函數中，我們要注意，這個系統的傳遞函數不止一個： C(s)R(s) 、 C(s)N1(s) 、 C(s)N2(s)

這些傳遞函數，我們來觀察一下，從它的表型形式，我們發現。這道題最終得到的動态結構圖，它的輸入信号肯定是不止一個的，它既有給定參考輸入 R(s) ，同時也會存在擾動輸入 N1(s) 、 N2(s) ，那麼對于此類的題型，我們要如何解決呢？

其實這種問題也非常簡單。我們來觀察一下這一組微分方程，在我們動态結構圖當中，常見到的組成部分有這樣幾個：

比較環節

所謂的比較環節，是指兩個或者兩個以上的信号在這一點相遇以後，（什麼點？比較點，我們使用小圈來表示。）所對應的比較點的輸出（輸出将會是輸入信号的疊加）。

除了比較點之外，再我們的動态結構圖當中，還有一個重要的組成部分：方框：

而方框的存在相當于一個乘法器。它表示：任意的信号在經過方框以後，所對應的輸出都應該用這個信号乘以方框所對應的傳遞函數。

動态結構圖除了這兩個組成部分之外，還有一個組成部分，我們把它叫做：引出點。

引出點是指：從同一個信号線上面的不同位置引出來幾路信号，而引出來的這幾路信号它的大小、性質是完全一樣的。

我們的動态結構圖也就這三個基本組成部分。那麼這三個組成部分對應我們微分方程中運算是什麼呢？

比較點：對應 加減運算。

方框： 對應 乘法運算。

引出點：相同的信号，從哪個位置出來，我們就清楚了。

現在我們回到這道題當中來，我們來看看第一個微分方程（ x1(t)=r(t)−c(t)+n1(t) ）。這個微分方程實質上是一個代數方程。在這個方程中隻涉及到了加和減的計算，這個計算在我們動态結構圖當中，實際上就相當于隻遇到了比較點。

這個比較點的輸出信号我們假設是 x1(t) ，這個比較點的信号是有三路信号疊加而成的，一路我們假設是參考輸入信号 r(t) ，還有一路是來至于系統的輸出 c(t) 。注意 r(t) 和 c(t) 之間是減的關系，是以 c(t) 在這裡有一個負号；此外，還有一路信号是來至 n1(t) 。

現在，我們就利用了一個比較點，将第一個代數方程所描述的關系已經表達出來了。

怎麼由 x1(t) 得到 x2(t) ？

它是經過了一個比例環節（ x2(t)=K1x1(t) ），也就是說 x1(t) 這個信号經過了K1 倍的放大以後，得到了 x2(t) 。

再來看第三個方程（ X3(t)=x2(t)−x5(t) ），第三個方程仍然涉及到的是一個疊加運算。仍然是遇到了一個比較環節，這個比較環節是哪兩個信号進行比較呢？

x2(t) 和負的 x5(t) 。這兩路信号在這裡做了一個比較。比較以後的輸出是 x3(t) 。

繼續看第4個方程（ Tdx4(t)dt=x3(t) ）。 如何從 x3 變成 x4 呢？

我們可以考慮對這樣的式子做一個變形。 我們将它轉換到複頻域當中，這樣，我們有：

一階微分對應的是一個

s

。也就是說，如果我們想通過 x3 得到 x4 ，實際上，我們需要經過一個環節的傳遞，這個環節是一個積分環節。我們現在把這樣的積分環節帶到動态結構圖目前去。

x3(t) 經過了一個積分環節（ 1TS ）之後，得到了一個輸出信号： x4(t) 。

在來觀察一下第5個方程（ x5(t)=x4(t)−K2n2(t) ）：

在這個方程當中，所對應的輸出信号是 x5(t) ，這個方程又是兩路信号的疊加。

哪兩路呢？一路是來至于 x4(t) ，還有一路是來至于 n2(t) ，并且這個 n2(t) 是經曆了一個比例環節 K2 ，這樣的兩個環節互相比較得到了輸出信号 x5(t)

最後一個方程（ K0x5(t)=d2c(t)dt2+dc(t)dt ）。最後這個方程裡面仍然有微分符的存在。我們在動态結構圖當中，每一個方框裡出現的隻能使傳遞函數，是以，我們要這個微分方程所對應的傳遞函數找到。它的傳遞函數是什麼呢？

現在這個環節，它的輸出是 c(s) ，輸入是 x5(s) 。從這個方程中我們可以得到：

傳遞函數就是這樣的： G(s)=K0s2+s 。

現在我們就發現了。從 x5(t) 經過一個二階環節以後得到的整個系統的輸出 c(s) 。

我們現在來觀察一下整個系統的動态結構圖。在前面也有一個 c(t) 。最後一步就是：相同的信号進行合并。同理 x5(t) 的兩個信号線也要進行合并。

這樣整個系統的動态結構圖，我們就畫出來了。

再畫結構圖的時候，大家要注意一點：如果在遇到微分符号的 存在，就是給你的是微分方程，你需要先把它單個的微分方程做拉氏變換，求出單個環節所對應的傳遞函數，把這個傳遞函數寫到相應的方框裡面去。

在畫出了這個系統的動态結構圖之後， 我們繼續看下面的問題：要求系統的傳遞函數。如何求呢？

這個系統有三個輸入信号，分别是：參考輸入 r(t) 、擾動信号 n1(t) 、和擾動信号 n2(t) 。而我們需要求的傳遞函數就是分别針對于這三個輸入信号的。

一般 情況下，如果沒有特加說明，我們經典控制理論當中所涉及到的系統都是線性控制系統。線性系統有它非常重要的兩個性質：疊加性 和 齊次性。

隻有同時滿足了 疊加性 和 齊次性 的系統才叫做：線性系統。

其中 這個疊加性意味着：如果這個線性系統它在多個信号的作用下，那麼這個時候系統的輸出就應該等于：這多個信号各自單獨作用所對應輸出的疊加。也就是說在這樣的一個系統當中，整個系統的輸出應該等于： C(t)=Cr(t)+Cn1(t)+Cn2(t) 。

這個時候，如果我們要求某個信号單獨作用所對應的傳遞函數，對于線性系統而言，我們可以假設：其他的輸入信号都等于

.

也就是說：如果我們要求參考輸入 r(s) 所對應的輸出，我們可以先假設： n1(t)=n2(t)=0 （表示：此刻他們都不存在，都等于零）。那麼這個時候，隻有參考輸入信号單獨作用在系統上，而求這個傳遞函數，我們是不是需要對這樣的一個動态結構圖進行簡化呢？當時是可以的。但是我們更提倡大家使用Mason公式直接來做，因為Mason公式隻要我們能找到前向通道，找到獨立回路，這個時候多麼複雜的系統，它的傳遞函數我們都可以很容易的獲得。

比如說，我們現在來求：參考輸入作用下，系統的傳遞函數（ C(s)R(s) ），我們來觀察一下：從參考輸入到系統的輸出，所經過的前向通道隻有一個。這條前向通道它的增益是多少呢？就等于：這條前向通道所經曆的所有環節傳遞函數的乘積。

n1(t)=n2(t)=0

P1=K1⋅1Ts⋅K0s(s+1)=K0K1Ts2(s+1)

好了前向通道隻有一條。接着我們在來看看獨立回路：在這個系統中，它存在兩個獨立回路。

這兩個回路所對應的回路增益分别是多少呢？

首先看回路1。回路1所對應的回路增益它等于：

L1=−1Ts

L2=−K1⋅1Ts⋅K0s2+s=−K0K1Ts2(s+1)

而且我們發現：這個兩個回路之間有互相接觸的部分，是以我們很容易的得到這個系統的特征多項式等于：

△=1−L1−L2=1+1Ts+K0K1Ts2(s+1)

這條系統隻有一條前向通道，而且這條前向通道和兩個回路多有接觸部分，是以它所對應的餘因式就等于

1

：

△1=1

這樣話，我們可以得到這個系統在參考輸入信号作用下，系統的傳遞函數等于：前向通道增益乘上它所對應的餘因式 比上 系統的特征多項式。

C(s)R(s)=P1⋅△1△

将 △ 、 P1 、 △1 代入上式，也就等于：（整理）

C(s)R(s)=P1⋅△1△=K0K1Ts2(s+1)+s(s+1)+K0K1

這給式子就是我們來求的第一個傳遞函數（ C(s)R(s) ）。

我們發現，這是一個三階系統。（其實，我們在微分方程組裡面也能發現。構成這個微分方程有一個1階的，有一個2階的 ，這些信号（

x1

、

x2

、

x5

）之間是彼此串聯的。是以：這個是一個一階系統串聯了一個二階系統，構成了一個三階系統。）

接下來我們再來看看，在擾動信号

n1

作用下的傳遞函數。

當我們求擾動信号作用下的傳遞函數，我們此時可以假設 ：參考輸入信号等于零，另外一個擾動信号也等于零（ r(t)=0、n2(t)=0 ）。

這個時候我們來觀察，從擾動信号

n1

輸入到系統的輸出

C

，我們發現，

n1

和

r

所處的位置是完全一樣的，是以

n1

的傳遞函數是和

r

的傳遞函數是完全一樣的。（ C(s)R(s) 已經求得了。）

C(s)N1(s)=C(s)R(s)

現在再來看

n2

的傳遞函數。求這個擾動的傳遞函數，我們可以先假設，

r

和

n1

的參考輸入都不存在。即等于零（ r(t)=0、n1(t)=0 ）。

從

n2

到達系統的輸出，它所通過的前向通道，我們發現隻有一個。

這條前向通道的增益等于：

P1=−K2⋅K0s(s+1)

再來看，系統的回路沒有變。是以，不管是哪個參考信号作用下，系統的傳遞函數，隻要系統的結構不變，它的傳遞函數的分母多項式，也就是系統它的特征多項式是不會發生改變的。 （這一點，我們會在結果中，會得到驗證。）

我們現在在觀察，從

n2

到輸出

c

，它的前向通道前面也有和兩個回路互相接觸的部分，是以對應的餘因式仍然是等于

1

。

△1=1

是以，所對應的傳遞函數，仍然等于：（分母是剛剛求出來的特征多項式。）

C(s)N2(s)=P1⋅△1△

C(s)N2(s)=−K2⋅K0s(s+1)1+1Ts+K0K1Ts2(s+1)

這樣，我們對這樣的單輸出多輸入的系統， 對每一個輸入信号作用下的傳遞函數，我們都很容易擷取了。

總結：

這道題，我們要掌握這樣幾個問題：

1. 首先是怎麼樣從微分方程來建立動态結構圖，這種建立隻要按照信号流動的單向性，我們把每一個方程所對應的典型的環節都畫出來，然後按照信号流圖的單向性，互相連接配接。整個系統的動态結構圖，我們就知道了。
2. 建立起了動态結構圖以後，隻要能夠牢牢的把握線性系統的疊加性原理，那麼每一個信号單獨作用下的傳遞函數，我們就知道了。

再來一道例題

系統的方框圖如下，試求系統的閉環傳遞函數。

題型分析：本題是從結構圖求傳遞函數的一般題型，這種題型一般有三種方法可以解決：即結構圖變換、Mason 公式，以及變量代換的方法。

解題：

給了我們系統的動态結構圖，讓我們求系統的閉環傳遞函數。

一般，遇到這樣的題型，我們的解決辦法有三種：

1 . 我們可以通過對動态結構圖進行化簡，進而求得系統的閉環傳遞函數。但是這種方法在遇到了一些問題的時候， 并不好用。什麼樣的問題呢？ 在這個題當中，涉及到了引出點和比較點。

（引出點，比較點，引出點）

它們之間是互相交叉的，也就是說：不管我們是做比較點的前移和後移，還是做引出點的前移和後移，是必會經過一些比較點或者是引出點。那麼在這個時候，就非常容易出錯。是以，這種方法隻有對一些簡單的動态結構圖，我們可以采用。如果遇到較為複雜的，像現在這種，引出點和比較點互相交叉的情況下呢，我們不提倡大家用這種方法。

2 . 還有一種方法，就是使用 Mason 公式的方法。這種方法，不管針對于動态結構圖也好，信号流圖也能使用。我們隻要在動态結構圖或者信号流圖當中，能夠找到從輸入到輸出所對應的前向通道以及所對應的單獨回路，那麼這個時候，牢記公式就應該可以很容易的求解系統的傳遞函數。

3 . 第三種方法：變量代換。它和我們高中學過的代數很像。我們之前講過：構成系統動态結構圖的環節有三種：比較點、引出點、還有方框。比較點相當于我們代數運算當中的加或者減，而方框相當于我們代數運算當中的乘法。是以，我們隻要運用一些中間變量，把我們的方框也好，比較點也好，還原為原來的代數運算。那麼這個時候，隻要列出來了所對應的這組代數方程，消去中間變量，就可以求得系統的傳遞函數。但是這種方法不是我們在大學階段應該掌握的，是以就不提倡大家使用。

是以這樣的話，隻要遇到了動态結構圖的化簡或者 信号流圖的化簡，我們提倡大家就使用Mason公式。

那麼對于這道題，我們來觀察一下，我們現在要求系統的閉環函數，這個時候，系統的輸入信号是

r(s)

，輸出信号是

c(s)

。從輸入到輸出，所進過的前向通道有幾條？有三條 。

第一條前向通道：

所對應的前向通道的增益是： P1=G2(s) 。

前向通道的增益的求法：我們使用前向通道所進過的所有環節所對應的傳遞函數乘起來，就是該前向通道的通道增益了。

第二條前向通道：

所對應的前向通道的增益是：

P2=G1G2

第三條前向通道：

所對應的前向通道的增益是：

P3=G1

現在，前向通道現在我們找完了。現在看看系統當中有沒有回路。首先，我們來觀察一下，這有一個小回路

所對應的回路增益，我們使用 L1 來表示：

L1=−G1

除了這個小回路之外，還存在一個大回路， L2

它所對應的回路增益是：

L2=−G1G2

第三個回路：

增益：

L3=−G1

按照回路的定義，信号的流動都是單項流動的，是以所有的回路我們就找完了。

（注意： 往往我們習慣犯的錯誤是：先把動态結構圖轉換為信号流圖，再在信号流圖中使用Mason公式。這個時候就非常容易出現一種錯誤。我們拿到了動态結構圖之後，我們不提倡把它轉為信号流圖，我們隻需要在動态結構圖中，使用信号流圖的單向性來找前向通道，來找獨立回路，就可以了）

剛剛，我們已經找到了前向通道和獨立回路， 那麼這個時候，我們觀察這三個獨立回路之前在下面這段是互相接觸的。是以不存在兩兩或者三三互不接觸的回路。

是以，所對應的特征式就等于：

△=1=L1−L2−L3=1+2G1+G1G2

而我們剛才的三條前向通道，它和我們三個回路之間都存在互相交叉的部分，是以所對應的餘因式 都等于

1

。

△1=△2=△3=1

這樣，整個系統的閉環傳遞函數，我們就很容易的可以獲得。（利用了 Mason 公式 ）

φ(s)=C(s)R(s)=P1△1+P2△2+P3△3△=G2+G1G2+G11+2G1+G1G2

總結：

這個系統一定要是一個線性系統。隻要是線性系統，它就一定滿足疊加性的原理。

所謂的疊加性：在參考給定，以及擾動輸入共同作用下的輸出，就應該等于，參考輸入單獨作用下的輸出 疊加上 擾動輸入單獨作用下的輸出。

而在分布求他們各自的傳遞函數的時候，我們要把握一點，求某一個信号單獨作用的時候，我們要假設其他的輸入是等于

的。

完

請通路：http://www.aobosir.com/