淺談最短路之——迪傑斯特拉(Dijkstra)算法

    迪傑斯特拉算法複雜度為O(n^2)，加入堆優化後可以優化到O((m+n)logn)的級别。主要适用于解決不含負邊權的單源最短路。其基本思想是：記S為已找到源點的最短路的點的集合，V為不在集合S中的點的集合，用dis數組記錄i到源點的最短路徑長度，每次取V中w值最小的v加入S，更新dis的值，重複上述步驟直到所有點都在S中，這樣dis[t]即為最短路徑長度。

      而我們發現，如果邊數不足n^2，我們可以用堆來優化這個過程，每次取出最短路時并不需要周遊一遍V，隻需彈出堆頂元素即可，因為c++預設堆為大根堆，是以隻需在壓入時将dis取負即可；每次調整的複雜度為O(elogn)，e為該點連的邊數是以最後的複雜度就降到了O((m+n)logn)。

       接下來給一段圖示：

對于這個圖，我們要求找出1-7的最短路徑長度。

    第一步：源點1在集合S中，dis[1]=0，找到w最小的邊，連向4，dis[4]更新為5，4進入集合S，找到3，dis[3]更新為5+2=7，3進入集合S，找到2，dis[2]更新為7+3=10，2進入集合S，發現dis[2]+w[1,2]>dis[1]，且2沒有其他邊了，退回到3，找到下一條邊5，dis[5]=7+4=11，最後找到dis[7]=11+1=12。然後退回到4，找到第二小的邊連向6，dis[6]更新為5+4=9，然後無法更新dis[1]，退回。

   第二步：源點1找到第二小邊，連向2，dis[2]更新為6，然後發現2無法更新任何dis，傳回。

   第三步：源點1找到下一條邊，連向6，dis[6]更新為8，然後無法繼續更新dis，傳回，1已經沒有其他邊了，算法結束。

下面貼一段堆優化的迪傑斯特拉算法代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
int Read()
{
	int i=0,f=1;
	char c;
	for(c=getchar();(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=getchar());
	if(c=='-')
	{
		f=-1,c=getchar();
	}
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
	  i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
	return i*f;
}

const int N=1e4+5,M=2e5+5,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,tot,st;
int dis[N];
int first[N],next[M],to[M],w[M];
priority_queue<pair<int,int> >q;

void add(int x,int y,int z)
{
	tot++;
	next[tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
	w[tot]=z;
}

void dijkstra()
{
	memset(dis,INF,sizeof(dis));
	dis[st]=0;
	q.push(make_pair(0,st));
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.top().second;
		q.pop();
		for(int e=first[u];e;e=next[e])
		{
			int v=to[e];
			if(dis[u]+w[e]<dis[v])
			{
				dis[v]=dis[u]+w[e];
				q.push(make_pair(-dis[v],v));
			}
		}
	}
}

int main()
{
	int x,y,z;
	n=Read();m=Read();st=Read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		x=Read();y=Read();z=Read();
		add(x,y,z);add(y,x,z);
	}
	dijkstra();
	cout<<dis[n];
	return 0;
}