前面的文章中，我們已經講述了PID控制器的實作，包括位置型PID控制器和增量型PID控制器。但這個實作隻是最基本的實作，并沒有考慮任何的幹擾情況。在本節及後續的一些章節，我們就來讨論一下經典PID控制器的優化與改進。這一節我們首先來讨論針對積分項的積分分離優化算法。
1、基本思想
我們已經講述了PID控制引入積分主要是為了消除靜差，提高控制精度。但在過程的啟動、結束或大幅度增減設定值時，短時間内系統輸出有很大偏差，會造成PID運算的積分累積，引起超調或者振蕩。為了解決這一幹擾，人們引入了積分分離的思想。其思路是偏內插補點較大時，取消積分作用，以免于超調量增大；而偏內插補點較小時，引入積分作用，以便消除靜差，提高控制精度。
具體的實作步驟是：根據實際情況，設定一個門檻值；當偏差大于門檻值時，消除積分僅用PD控制；當偏差小于等于門檻值時，引入積分采用PID控制。則控制算法可表示為：
其中β稱為積分開關系數，其取值範圍為：
由上述表述及公式我們可以知道，積分分離算法的效果其實與ε值的選取有莫大關系，是以ε值的選取實際上是實作的難點，ε值過大則達不到積分分離的效果，而ε值過小則難以進入積分區，ε值的選取存在很大的主觀因素。
對于經典的增量式PID算法，似乎沒有辦法由以上的公式推導而來，因為β随着err(k)的變化在不是修改着控制器的表達式。其實我們可以換一種角度考慮，每次系統調節未定後，偏差應該為零，然後隻有當設定值改變時，系統才會響應而開始調節。設定值的改變實際上是一個階躍變化，此時的控制輸出記為U0，開始調節時，其調節增量其實與之前的一切沒有關系。是以我們就可以以變化時刻開始為起點，而得到帶積分分離的增量算法，以保證在啟動、停止和快速變化時防止超調。公式如下：
其中β的取值與位置型PID算法一緻。可能有人會擔心偏差來回變化，造成積分作用的頻繁分離和引入，進而使上述的增量表達式無法實作。其實我們分析一下就能發現，在開始時，由于設定值變化引起的偏差大而分離了積分作用，在接近設定值時，偏差變小就引入了積分，一邊消除靜差，而後處于穩态，直到下一次變化。
2、算法實作
這一部分，我們根據前面對其基本思想的描述，來實作基于積分分離的PID算法實作，同樣是包括位置型和增量型兩種實作方式。首先我們來看一下算法的實作過程，具體的流程圖如下：
有上圖我們知道，與普通的PID算法的差別，隻是判斷偏差的大小，偏差大時，為PD算法，偏差小時為PID算法。于是我們需要一個偏差檢測與積分項分離系數β的函數。
1 static uint16_t BetaGeneration(float error,float epsilon)
2
3 {
4
5 uint16_t beta=0;
6
7 if(abs(error)<= epsilon)
8
9 {
10
11 beta=1;
12
13 }
14
15 return beta;
16
17 } （1）位置型PID算法實作
根據前面的分析我們可以很輕松的編寫程式，隻需要在編寫程式時判斷偏差以确定是否引入積分項就可以了。同樣先定義PID對象的結構體：
1 /*定義結構體和公用體*/
2
3 typedef struct
4
5 {
6
7 float setpoint; //設定值
8
9 float proportiongain; //比例系數
10
11 float integralgain; //積分系數
12
13 float derivativegain; //微分系數
14
15 float lasterror; //前一拍偏差
16
17 float result; //輸出值
18
19 float integral;//積分值
20
21 float epsilon; //偏差檢測門檻值
22
23 }PID; 接下來實作PID控制器：
1 void PIDRegulation(PID *vPID, float processValue)
2
3 {
4
5 float thisError;
6
7 thisError=vPID->setpoint-processValue;
8
9 vPID->integral+=thisError;
10
11 uint16_t beta= BetaGeneration(error, vPID->epsilon);
12
13 if(beta>0)
14
15 {
16
17 vPID->result=vPID->proportiongain*thisError+vPID->derivativegain*(thisError-vPID->lasterror);
18
19 }
20
21 else
22
23 {
24
25 vPID->result=vPID->proportiongain*thisError+vPID->integralgain*vPID->integral+vPID->derivativegain*(thisError-vPID->lasterror);
26
27 }
28
29
30
31 vPID->lasterror=thisError;
32
33 } 與普通的PID算法的差別就是上述代碼中增加了偏差判斷，來決定積分項的分離與否。
（2）增量型PID算法實作
對于增量型PID控制，我們也可以采取相同的處理。首先定義PID對象的結構體：
1 /*定義結構體和公用體*/
2
3 typedef struct
4
5 {
6
7 float setpoint; //設定值
8
9 float proportiongain; //比例系數
10
11 float integralgain; //積分系數
12
13 float derivativegain; //微分系數
14
15 float lasterror; //前一拍偏差
16
17 float preerror; //前兩拍偏差
18
19 float deadband; //死區
20
21 float result; //輸出值
22
23 float epsilon; //偏差檢測門檻值
24
25 }PID; 接下來實作PID控制器：
1 void PIDRegulation(PID *vPID, float processValue)
2
3 {
4
5 float thisError;
6
7 float increment;
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9 float pError,dError,iError;
10
11
12
13 thisError=vPID->setpoint-processValue; //得到偏內插補點
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15 pError=thisError-vPID->lasterror;
16
17 iError=thisError;
18
19 dError=thisError-2*(vPID->lasterror)+vPID->preerror;
20
21 uint16_t beta= BetaGeneration(error, vPID->epsilon);
22
23 if(beta>0)
24
25 {
26
27 increment=vPID->proportiongain*pError+vPID->derivativegain*dError; //增量計算
28
29 }
30
31 else
32
33 {
34
35 increment=vPID->proportiongain*pError+vPID->integralgain*iError+vPID->derivativegain*dError; //增量計算
36
37 }
38
39 vPID->preerror=vPID->lasterror; //存放偏差用于下次運算
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41 vPID->lasterror=thisError;
42
43 vPID->result+=increment;
44
45 } 這就實作了增量型PID控制器積分分離算法，也沒有考慮任何的幹擾條件，僅僅隻是對數學公式的計算機語言化。
3、總結
積分分離算法的思想非常簡單。當然，對于β的取值，很多人提出了改進措施，例如分多段取值，設定多個門檻值ε1、ε2、ε3、ε4等，不過這些門檻值也需要根據實際的系統來設定。除了分段取值外，甚至也有采用函數關系來擷取β值。當然，這樣處理後就不再是簡單的積分分離了，特别是在增量型算法中，實際上已經演變為一種變積分算法了。已經偏離了積分分離算法的設計思想，在後面我們會進一步說明。
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