一文讀懂圖像中點的坐标變換(剛體變換，相似變換，仿射變換，投影變換)

0 前言

現在的人臉圖像識别流程中有一個步驟叫人臉對齊，現在的一般方法是采用人臉上的關鍵點坐标，進行相似變換來實作人臉校正。多次在人臉識别的論文中看到 similarity transform，由于線上代和矩陣分析的課上一直劃水。對相似變換也是一知半解，今天決定不惜一下相關的知識。大部分的内容都是參考網上大神的，這裡隻是做個整理。下面的闡述主要以二維坐标為例，多元空間的左邊點，可以通過增加變換矩陣的次元得知。

1 變換矩陣

假如二維空間中存在點(x,y),我們想通過将x移動a，y移動b，得到新的坐标點(x’,y’),那麼變換的公式可以寫為：

x ′ = x + a y ′ = y + b x'= x + a \\ y'=y + b x′=x+ay′=y+b

上市可以寫成矩陣的形式：

[ x ′ y ′ 1 ] = [ 1 0 a 0 1 b 0 0 1 ] [ x y 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix} \right] ⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​ab1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​

上式中等号後面的矩陣即為變換矩陣。為了使用矩陣表示平移變換，需要将坐标的次元增加一維，因為二維的矩陣沒有辦法表示平移變換，這叫做齊次坐标。

齊次坐标: 使用N+1維坐标來表示N維坐标，例如在2D笛卡爾坐标系中加上額外變量w來形成2D齊次坐标系(x,y)⇒(x,y,w) 。齊次坐标具有規模不變性，同一點可以被無數個齊次坐标表達.(x,y,1)⇒(ax,ay,a) 齊次坐标轉化為笛卡爾坐标可以通過同除最後一項得到。

在計算機圖形學中，為了統一将平移、旋轉、縮放等用矩陣表示，需要引入齊次坐标。（假設使用2x2的矩陣，是沒有辦法描述平移操作的，隻有引入3x3矩陣形式，才能統一描述二維中的平移、旋轉、縮放操作。同理必須使用4x4的矩陣才能統一描述三維的變換。

同樣的我們可以使用矩陣來表示，縮放變換，旋轉變換，相似變換，仿射變換和投影變換。

2 剛性變換

剛性變換： 隻有物體的位置(平移變換)和朝向(旋轉變換)發生改變，而形狀不變，得到的變換稱為剛性變換。剛性變換是最一般的變換。

2.1 平移變換

平移變換我們在上面已經提到過

2.2 旋轉變換

旋轉變換的變換矩陣，不像平移變換那麼容易得到，我們這裡介紹一下，旋轉變換的變換矩陣是怎麼求出來的。

2.2.1 繞原點的二維旋轉

首先要明确旋轉在二維中是繞着某一個點進行旋轉，三維中是繞着某一個軸進行旋轉。二維旋轉中最簡單的場景是繞着坐标原點進行的旋轉，如下圖所示：

2.2.3 繞任意點的二維旋轉

繞原點的旋轉是二維旋轉最基本的情況，當我們需要進行繞任意點旋轉時，我們可以把這種情況轉換到繞原點的旋轉，思路如下：

1. 首先将旋轉點移動到原點處
2. 執行如2所描述的繞原點的旋轉
3. 再将旋轉點移回到原來的位置

   

   

   對于二維平移，如下圖所示，P點經過x和y方向的平移到P’點，可以得到：

   

   

2.3 等距變換

等距變換相當于是平移變換和旋轉變換的複合，用R表示變換矩陣，即為 ：

左上角2×2矩陣為旋轉部分，tx和ty為平移因子，它有三個自由度，即旋轉，x方向平移，y方向平移。等距變換前後長度，面積，線段之間的夾角都不變。

3 相似變換

在介紹相似變換之前先介紹兩個簡單的變換，縮放變換和切向變換。

3.1 縮放變換

3.2 切向變換

3.3 相似變換

相似變換相當于是等距變換和均勻縮放的一個複合，用S表示變換矩陣，即為

左上角2×2矩陣為旋轉部分，tx和ty為平移因子，它有4個自由度，即旋轉，x方向平移，y方向平移和縮放因子s。相似變換前後長度比，夾角，虛圓點I,J保持不變。相似變換其實與相似三角形之間是有類似的。

4 仿射變換

仿射變換和相似變換近似，不同之處在于相似變換具有單一旋轉因子和單一縮放因子，仿射變換具有兩個旋轉因子和兩個縮放因子，是以具有6個自由度。不具有保角性和保持距離比的性質，但是原圖平行線變換後仍然是平行線。仿射變換主要包括平移變換、旋轉變換、縮放變換（也叫尺度變換）、傾斜變換（也叫錯切變換、剪切變換、偏移變換）、翻轉變換，有六個自由度。

仿射變換的表示如下：

仿射變換的特點如下：

仿射變換保持二維圖形的“平直性”和“平行性”，但是角度會改變。

“平直性”：變換後直線還是直線、圓弧還是圓弧。

“平行性”：平行線還是平行線，直線上點的位置順序不變。

它有6個自由度，即旋轉4個，也就是前述大矩形的4個元素都可以同時改變，x方向平移，y方向平移。它能保持平行性，不能保持垂直性，Image中各部分變換前後面積比保持不變，共線線段或者平行線段的長度比保持不變，矢量的線性組合不變。

5 投影變換

在這裡需要明晰一下的是，透視變換(Perspective Transformation)也稱作投影變換(Projective Transformation)、射影變換。

射影變換：是最一般的線性變換。有8個自由度。射影變換保持重合關系和交比不變。但不會保持平行性。即它會使得仿射變換産生非線性效應。

射影變換組成了一個群，這個群被稱為射影變換群，n×n可逆實矩陣稱為一般線性群GL(n)，當把相差非零純量因子的矩陣都視為等同時，便得到射影映射群，記為PL(n)。在平面，射影變換為PL(3)。

仿射變換和射影變換的差別：

其中當上面矩陣的最後一行為（0，0，1）時的變換就為仿射變換，在仿射的前提下，當左上角2×2矩陣正交時為歐式變換，左上角矩陣行列式為1時為定向歐式變換。是以射影變換包含仿射變換，而仿射變換包含歐式變換。

至此我們得到了射影變換和仿射變換的關系。

6 解析變換矩陣

變換矩陣可以分為如下幾個部分：

其中大矩形中的4個元素組成的整體表示線性變換，比如scaling（尺度），shearing（剪切）和ratotion（旋轉）；橢圓部分表示平移的參數，一個确定在x方向上的平移一個确定在y方向上的平移；小矩形部分用于産生透視變換。從這裡是以可以了解成仿射等是透視變換的特殊形式。其實不管是仿射變換是透視變換的特殊形式，其他所有的變換都是透視變換的變換矩陣取特殊值的特殊形式。

最後再補充一些名詞上的解釋：

projective transformation(投影變換) = homography(單應性變換) = collineation( 直射變換).

參考部落格：

1. 旋轉變換（一）旋轉矩陣
2. 圖像幾何變換之仿射變換
3. 何為仿射變換(Affine Transformation)
4. 【Computer Vision】圖像單應性變換/投影/仿射/透視
5. 仿射變換和射影變換、等距變換、相似變換