渦量與渦旋

流體力學中為什麼要引入渦量？ - 更高的天空的回答 - 知乎https://www.zhihu.com/question/31159018/answer/377602533
流體力學中為什麼要引入渦量？ - 朱輝的回答 - 知乎https://www.zhihu.com/question/31159018/answer/51047540
液滴擊打水面時産生的像卡門渦街的渦量分布 http://blog.sciencenet.cn/blog-739225-889268.html
為什麼說剛體線速度的旋度等于角速度的兩倍 https://baijiahao.baidu.com/s?id=1659243638317087666
How do you calculate vortex shedding frequency? https://physics.stackexchange.com/questions/70291/how-do-you-calculate-vortex-shedding-frequency
Vortex https://en.wikipedia.org/wiki/Vortex
大連理工大學 流體力學 第七章 漩渦 https://www.icourse163.org/course/DUT-1002043010?tid=1450232493
卡曼渦街實驗 https://www.youtube.com/watch?v=Eh_vOcXazaU
卡曼渦街仿真 https://www.youtube.com/watch?v=IDeGDFZSYo8
流體力學場論基礎—幾種重要的矢量場 https://zhuanlan.zhihu.com/p/54548572
王寶杏, 李壽松. 有勢力和保守力[J]. 揚州師院學報(自然科學版), 1982(02):72-77.
符瑞生.拉格朗日方程的形式[J].河南大學學報(自然科學版),1986(04):79-82+52.
肖尚征.分析力學的建立[J].四川師範大學學報(自然科學版),1987(02):150-156.
李述華.從動能定理推導拉格朗日第二類方程[J].大學實體,1987(02):16-17.
Energy Education: Concepts and Practices https://www.uwsp.edu/cnr-ap/KEEP/nres633/Pages/Unit1/Section-B-Two-Main-Forms-of-Energy.aspx
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劉啟龍. 内力做功之和一定為零嗎?[J]. 教學與管理, 1993(4):41-41.
Fluid Dynamics: What is the difference between chaotic flow and turbulent flow? https://www.quora.com/Fluid-Dynamics-What-is-the-difference-between-chaotic-flow-and-turbulent-flow
Whats the differences between vortex and turbulence in fluid dynamics? https://www.quora.com/Whats-the-differences-between-vortex-and-turbulence-in-fluid-dynamics
free vortex https://www.ramauniversity.ac.in/online-study-material/fet/me/btech/iiisemester/fluidmechanics/lecture-41.pdf
渦旋 https://baike.baidu.com/item/%E6%B6%A1%E6%97%8B/734600?fr=aladdin
渦旋 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%A6%E6%97%8B
Group1 L3 Free and Forced Vortex https://www.youtube.com/watch?v=IVBOmnx1qk0
           

渦量

vorticity 渦量/渦度

vortex 渦旋（whirl pool漩渦，帶三點水，指水的渦旋）

the vorticity is the curl of the flow velocity

w = w x i + w y j + w z k w = w_x i + w_y j + w_z k w=wx​i+wy​j+wz​k

r = x i + y j + z k r = x i + y j + z k r=xi+yj+zk

v = w × r v = w \times r v=w×r

Ω = ∇ × v = 2 w \Omega = \nabla \times v = 2w Ω=∇×v=2w

渦量定義為速度的旋度結果為2倍的角速度，是以可以用渦量來反映角速度。

渦旋分為強迫渦與自由渦，

強迫渦：攪拌流體或者旋轉容器可以使得流體旋轉，而微團之間卻沒有相對運動。通過消耗外界提供的能量來使得流體旋轉。

自由渦：由于慣性而導緻旋轉，不消耗外界能量。如：打開水池底部防水，就會形成一個漩渦。

自由渦舉例：
1. Flow around a circular bend.
2. A whirlpool in a river.
3. Flow of liquid in a centrifugal pump casing after it has left the impeller.
4. Flow of water in a turbine casing before it enters the guide vanes.
5. Flow of liquid through a hole/outlet provided at the bottom of a shallow vessel (e.g., wash basin, bath tub, etc.)
           

速度環量

circulation環量，渦量相當于每機關面積所具有的環量

無旋流場速度環量為0，速度環量為0不一定無旋（可能存在兩個強度相同但方向相反的渦管）

渦強是渦量的面積分。沿任一封閉曲線的速度環量等于通過以該曲線為邊界的任意曲面的渦強。

根據斯托克斯公式建立了渦強與速度環量的關系。（斯托克斯公式将求解曲面積分轉化求解曲線積分。格林公式是斯托克斯公式的一個特例，先于斯托克斯公式推出。）

∮ v d l = ∬ Ω d A \oint v dl = \iint \Omega dA ∮vdl=∬ΩdA

∮ v x d x + v y d y + v z d z = ∬ Ω x d y d z + Ω y d x d z + Ω z d x d y \oint v_x dx + v_y dy + v_z dz = \iint \Omega_x dydz + \Omega_y dxdz + \Omega_z dxdy ∮vx​dx+vy​dy+vz​dz=∬Ωx​dydz+Ωy​dxdz+Ωz​dxdy

開爾文速度環量定理

正壓流體：内部任一點的壓力隻是密度的函數的流體

理想流體：無粘性流體

開爾文速度環量定理：也稱湯姆遜定理，沿流體線的速度環量守恒定理

拉格朗日定理：在理想正壓流體中，且品質力有勢。如果之前沒有漩渦，之後也不會産生漩渦；如果目前有漩渦，那麼漩渦不會自行消失。

亥姆霍茲定理

第一定理：渦管不能在流體中開始也不能在流體中結束，在同一瞬間渦管各截面的渦通量都相同。（海面龍吸水，開始于海面，終止于無窮遠高）

第二定理——渦管守恒定理：在理想正壓流體中，且品質力有勢，渦管永遠保持為由相同的流體質點組成的渦管。

第三定理：在理想正壓流體中，且品質力有勢，渦管強度不随時間改變。

漩渦的誘導速度

漩渦場對速度場有影響，速度場對漩渦場有影響

畢奧—薩伐爾定理：誘導速度與速度環量的關系

二進制漩渦

Rankine渦：不可壓縮流體，中間為圓筒形流體繞着中心旋轉，圓筒外的流體無旋運動（旋風分離器的原理）（rankine在轉子動力學中也很出名）

無旋流irrotational flow ：微團角速度為0， Ω = ∇ × v = 0 \Omega = \nabla \times v = 0 Ω=∇×v=0，數學上有個定義：标量函數梯度的旋度為0，是以可以用标量函數的梯度來定義無旋流的速度場， v = ∇ ϕ v = \nabla \phi v=∇ϕ，無旋流也稱勢流potential flow 。（多元函數的梯度是一個向量函數），無旋流的渦稱為irrotational vortex或free vortex或potential vortex。

Rankine渦的應用有哪些？

有勢力

保守力： F = F ( r ) F=F(r) F=F(r)， ∮ F d r = 0 \oint F dr = 0 ∮Fdr=0，保守力的圈積分為0。

有勢力： F = F ( r , r ˙ , t ) , F δ r = − δ U F=F(r,\dot{r},t), F \delta r = -\delta U F=F(r,r˙,t),Fδr=−δU，有勢力所作的虛功等于廣義勢能變分的負值。

conservative force：重力，浮力，彈力，靜電力，萬有引力等

non-conservative force：摩檫力，非彈性材料應力，空氣阻力，水阻力，電阻等

kinetic energy、potential energy、work

The external work done on an elastic member in causing it to distort from its unstressed state is transformed into strain energy which is a form of potential energy.

其他

wake vortex 尾迹渦

trapped vortex 脫體渦

Starting vortex

Batchelor vortex

Burgers vortex

Horseshoe vortex

Kaufmann vortex

Lamb–Oseen vortex

Wingtip vortex

Vortex lift 渦升力

vortex shedding frequency 渦流脫落頻率

vortex-induced vibration 渦誘導振動

馮卡門在1911年，studies the stability of vortex patterns that form behind stationary bodies in flowing fluids (“Kármán vortex street”)

無源場

有源場

無旋場

有旋場

保角變換

誘導速度