【線性代數】線性組合，線性相關與生成子空間(linear combination, linear dependency & span)

首先，幾個前提

• 向量在代數上表示一組數的組合
• 向量在空間中可以表示一個點
• 向量在空間中可以表示一個向量

走起！

對于代數方程 Ax=b A x = b 而言，我們可以從空間的角度這樣來了解:

将矩陣 A A 的列向量看做是從 原點出發的不同方向向量，向量 b b 代表空間中的一個固定目标點，而我們要求解的向量 x x 則是一組數，其每一個分量 xi x i 代表我們沿着 Ai A i 方向走多遠， 即

Ax=∑ixiA:,i A x = ∑ i x i A : , i

, 這種 一組向量乘上一組系數的操作，就叫做 線性組合(linear combination),即 每個向量乘以對應系數之後的和，記做 ∑iciv(i) ∑ i c i v ( i )

. 一組向量線性組合後等到達的點的集合，構成了這組向量的 生成子空間(span)

回到 Ax=b A x = b ， A A 的列向量的生成子空間，叫做 A 的列空間(column space) 或者 A 的值域(range), 而确定方程是否有解，就是确定 點 b b 是否在這個列空間裡。顯然，要想使 Ax=b A x = b 對于任意 b∈Rn b ∈ R n 有解， A A 的值域必須充滿 Rn R n 空間，也就是說 A A 的列向量必須構成 Rn R n 空間的一組基底，即 A A 中的列向量必須是線性無關的。

如果，一組向量中，任意一個向量都不能表示成其他向量的線性組合，那麼這組向量就是線性無關(linearly independent)的。相應的，任何一個向量可以表示為其他向量的線性組合，那麼這組向量就是有備援的，就是線性相關(linearly dependent)的。

對于方陣(square)而言,

列向量線性相關的方陣被稱為奇異(singular)的。