頻譜分析相關知識

一．

由來

傅裡葉變換（

Fourier

變換）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國

學者約瑟夫〃傅裡葉系統地提出，是以以其名字來命名以示紀念。

二．

概要介紹

1.

傅裡葉變換能将滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和

/

或餘弦函

數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅裡葉變換具有多種不

同的變體形式，如連續傅裡葉變換和離散傅裡葉變換。最初傅裡葉分析是作為

熱過程的解析分析的工具被提出的。——（

1

）

2.

傅裡葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似。

3.

正弦基函數是微分運算的本征函數，進而使得線性微分方程的求解可以轉化為

常系數的代數方程的求解。線上性時不變的實體系統内，頻率是個不變的性質，

進而系統對于複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信号的響應來獲

取。

三．

計算方法

連續傅裡葉變換将平方可積的函數

f

（

t

）表示成複指數函數的積分或級數

形式。

這是将頻率域的函數

F(

ω

)

表示為時間域的函數

f

（

t

）的積分形式。

連續傅裡葉變換的逆變換

 (inverse Fourier transform)

為

即将時間域的函數

f

（

t

）表示為頻率域的函數

F(

ω

)

的積分。

一般可稱函數

f

（

t

）為原函數，而稱函數

F(

ω

)

為傅裡葉變換的像函數，原函

數和像函數構成一個傅裡葉變換對（

transform pair

）

。

四．

應用領域

傅裡葉變換在實體學、聲學、光學、結構動力學、數論、組合數學、機率論、

統計學、信号處理、密碼學、海洋學、通訊等領域都有着廣泛的應用。例如在

信号進行中，傅裡葉變換的典型用途是将信号分解成幅值分量和頻率分量。

五．

簡介離散傅裡葉變換的應用。

DFT

在諸多多領域中有着重要應用，下面僅是颉取的幾個例子。需要指出的是，

所有

DFT

的實際應用都依賴于計算離散傅裡葉變換及其逆變換的快速算法，即

快速傅裡葉變換（快速傅裡葉變換（即

FFT

）是計算離散傅裡葉變換及其逆變換

的快速算法。

）

。

1.

頻譜分析

DFT

是連續傅裡葉變換的近似。是以可以對連續信号

x(t)

均勻采樣并截斷以得

到有限長的離散序列，對這一序列作離散傅裡葉變換，可以分析連續信号

x(t)

id="ifrId_1434618420266_0" width="0" height="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" frame allowtransparency="true" style="width: 960px; height: 90px;">

頻譜的性質。前面還提到

DFT

應用于頻譜分析需要注意的兩個問題：即采樣可

能導緻信号混疊和截斷信号引起的頻譜洩漏。

可以通過選擇适當的采樣頻率

（見

奈奎斯特頻率）消減混疊。選擇适當的序列長度并加窗可以抑制頻譜洩漏。

2.

資料壓縮

由于人類感官的分辨能力存在極限，是以很多有損壓縮算法利用這一點将語音、

音頻、圖像、視訊等信号的高頻部分除去。高頻信号對應于信号的細節，濾除

高頻信号可以在人類感官可以接受的範圍内獲得很高的壓縮比。這一去除高頻

分量的處理就是通過離散傅裡葉變換完成的。将時域或空域的信号轉換到頻域，

僅儲存或傳輸較低頻率上的系數，在解壓縮端采用逆變換即可重建信号。

3.OFDM 

OFDM

（正交頻分複用）在寬帶無線通信中有重要的應用。這種技術将帶寬為

N

個等間隔的子載波，可以證明這些子載波互相正交。尤其重要的是，

OFDM

調制

可以由

IDFT

實作，而解調可以由

DFT

實作。

OFDM

還利用

DFT

的移位性質，在每

個幀頭部加上循環字首（

Cyclic Prefix

）

，使得隻要信道延時小于循環字首的

長度，就能消除信道延時對傳輸的影響。

六、傅立葉變換的實體意義

傅立葉變換是數字信号處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的

意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序

或信号，都可以表示為不同頻率的正弦波信号的無限疊加。而根據該原理創立

的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信号，以累加方式來計算該信号中不

同正弦波信号的頻率、振幅和相位。

和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種

累加處理，這樣就可以将單獨改變的正弦波信号轉換成一個信号。是以，可以

說，傅立葉變換将原來難以處理的時域信号轉換成了易于分析的頻域信号（信

号的頻譜）

，可以利用一些工具對這些頻域信号進行處理、加工。最後還可以利

用傅立葉反變換将這些頻域信号轉換成時域信号。

從現代數學的眼光來看，傅裡葉變換是一種特殊的積分變換。它能将滿足一定

條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，

傅裡葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅裡葉變換和離散傅裡葉變換。

在數學領域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思

想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。

"

任意

"

的函數通過一定的分

解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在實體上是被充分

研究而相對簡單的函數類：

1. 

傅立葉變換是線性算子

,

若賦予适當的範數

,

它還

是酉算子

;2. 

傅立葉變換的逆變換容易求出

,

而且形式與正變換非常類似

;3. 

正弦基函數是微分運算的本征函數

,

進而使得線性微分方程的求解可以轉化為

常系數的代數方程的求解

.

線上性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算

,

進而

提供了計算卷積的一種簡單手段

;4. 

離散形式的傅立葉的實體系統内

,

頻率是

個不變的性質

,

進而系統對于複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦

信号的響應來擷取

;5. 

著名的卷積定理指出

:

傅立葉變換可以化複變換可以利

用數字計算機快速的算出

(

其算法稱為快速傅立葉變換算法

(FFT))

。

id="cproIframe_u2280119_1" width="960" height="90" src="http://pos.baidu.com/acom?adn=4&at=231&aurl=&cad=1&ccd=24&cec=GBK&cfv=18&ch=0&col=zh-CN&conBW=0&conOP=1&cpa=1&cpro_lu=1%2C%23dfe4f9%2C%23000000%2C%E5%AE%8B%E4%BD%93&dai=1&dis=0&ltr=http%3A%2F%2Fwenku.baidu.com%2Fsearch%3Fword%3D%25E6%25B5%25B7%25E6%25B4%258B%2520%25E9%25A2%2591%25E8%25B0%25B1%26lm%3D0%26od%3D0%26ie%3Dutf-8&ltu=http%3A%2F%2Fwenku.baidu.com%2Fview%2Fb38f841014791711cc7917a6.html%3Ffrom%3Dsearch&lu_161=0&lunum=6&n=60075120_cpr&pcs=1266x626&pis=10000x10000&ps=3689x33&psr=1920x1080&pss=1266x4578&qn=342ec42149b57f7f&rad=&rsi0=960&rsi1=90&rsi5=4&rss0=%23FFFFFF&rss1=%23FFFFFF&rss2=%230000ff&rss3=%23444444&rss4=%23008000&rss5=&rss6=%23e10900&rss7=&scale=&skin=tabcloud_skin_5&stid=5&td_id=2280119&titFF=%E5%AE%8B%E4%BD%93&titFS=12&titTA=left&tn=text_default_960_90&tpr=1443016081483&ts=1&version=2.0&xuanting=0&dtm=BAIDU_DUP2_SETJSONADSLOT&dc=2&di=u2280119&ti=%E9%A2%91%E8%B0%B1%E5%88%86%E6%9E%90%E7%9B%B8%E5%85%B3%E7%9F%A5%E8%AF%86_%E7%99%BE%E5%BA%A6%E6%96%87%E5%BA%93&tt=1443016081443.44.265.278" align="center,center" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" frame allowtransparency="true">

正是由于上述的良好性質

,

傅裡葉變換在實體學、數論、組合數學、信号處理、

機率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用。

一．

由來

傅裡葉變換（

Fourier

變換）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國

學者約瑟夫〃傅裡葉系統地提出，是以以其名字來命名以示紀念。

二．

概要介紹

1.

傅裡葉變換能将滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和

/

或餘弦函

數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅裡葉變換具有多種不

同的變體形式，如連續傅裡葉變換和離散傅裡葉變換。最初傅裡葉分析是作為

熱過程的解析分析的工具被提出的。——（

1

）

2.

傅裡葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似。

3.

正弦基函數是微分運算的本征函數，進而使得線性微分方程的求解可以轉化為

常系數的代數方程的求解。線上性時不變的實體系統内，頻率是個不變的性質，

進而系統對于複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信号的響應來獲

取。

三．

計算方法

連續傅裡葉變換将平方可積的函數

f

（

t

）表示成複指數函數的積分或級數

形式。

這是将頻率域的函數

F(

ω

)

表示為時間域的函數

f

（

t

）的積分形式。

連續傅裡葉變換的逆變換

 (inverse Fourier transform)

為

即将時間域的函數

f

（

t

）表示為頻率域的函數

F(

ω

)

的積分。

一般可稱函數

f

（

t

）為原函數，而稱函數

F(

ω

)

為傅裡葉變換的像函數，原函

數和像函數構成一個傅裡葉變換對（

transform pair

）

。

四．

應用領域

傅裡葉變換在實體學、聲學、光學、結構動力學、數論、組合數學、機率論、

統計學、信号處理、密碼學、海洋學、通訊等領域都有着廣泛的應用。例如在

信号進行中，傅裡葉變換的典型用途是将信号分解成幅值分量和頻率分量。

五．

簡介離散傅裡葉變換的應用。

DFT

在諸多多領域中有着重要應用，下面僅是颉取的幾個例子。需要指出的是，

所有

DFT

的實際應用都依賴于計算離散傅裡葉變換及其逆變換的快速算法，即

快速傅裡葉變換（快速傅裡葉變換（即

FFT

）是計算離散傅裡葉變換及其逆變換

的快速算法。

）

。

1.

頻譜分析

DFT

是連續傅裡葉變換的近似。是以可以對連續信号

x(t)

均勻采樣并截斷以得

到有限長的離散序列，對這一序列作離散傅裡葉變換，可以分析連續信号

x(t)

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頻譜的性質。前面還提到

DFT

應用于頻譜分析需要注意的兩個問題：即采樣可

能導緻信号混疊和截斷信号引起的頻譜洩漏。

可以通過選擇适當的采樣頻率

（見

奈奎斯特頻率）消減混疊。選擇适當的序列長度并加窗可以抑制頻譜洩漏。

2.

資料壓縮

由于人類感官的分辨能力存在極限，是以很多有損壓縮算法利用這一點将語音、

音頻、圖像、視訊等信号的高頻部分除去。高頻信号對應于信号的細節，濾除

高頻信号可以在人類感官可以接受的範圍内獲得很高的壓縮比。這一去除高頻

分量的處理就是通過離散傅裡葉變換完成的。将時域或空域的信号轉換到頻域，

僅儲存或傳輸較低頻率上的系數，在解壓縮端采用逆變換即可重建信号。

3.OFDM 

OFDM

（正交頻分複用）在寬帶無線通信中有重要的應用。這種技術将帶寬為

N

個等間隔的子載波，可以證明這些子載波互相正交。尤其重要的是，

OFDM

調制

可以由

IDFT

實作，而解調可以由

DFT

實作。

OFDM

還利用

DFT

的移位性質，在每

個幀頭部加上循環字首（

Cyclic Prefix

）

，使得隻要信道延時小于循環字首的

長度，就能消除信道延時對傳輸的影響。

六、傅立葉變換的實體意義

傅立葉變換是數字信号處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的

意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序

或信号，都可以表示為不同頻率的正弦波信号的無限疊加。而根據該原理創立

的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信号，以累加方式來計算該信号中不

同正弦波信号的頻率、振幅和相位。

和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種

累加處理，這樣就可以将單獨改變的正弦波信号轉換成一個信号。是以，可以

說，傅立葉變換将原來難以處理的時域信号轉換成了易于分析的頻域信号（信

号的頻譜）

，可以利用一些工具對這些頻域信号進行處理、加工。最後還可以利

用傅立葉反變換将這些頻域信号轉換成時域信号。

從現代數學的眼光來看，傅裡葉變換是一種特殊的積分變換。它能将滿足一定

條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，

傅裡葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅裡葉變換和離散傅裡葉變換。

在數學領域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思

想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。

"

任意

"

的函數通過一定的分

解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在實體上是被充分

研究而相對簡單的函數類：

1. 

傅立葉變換是線性算子

,

若賦予适當的範數

,

它還

是酉算子

;2. 

傅立葉變換的逆變換容易求出

,

而且形式與正變換非常類似

;3. 

正弦基函數是微分運算的本征函數

,

進而使得線性微分方程的求解可以轉化為

常系數的代數方程的求解

.

線上性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算

,

進而

提供了計算卷積的一種簡單手段

;4. 

離散形式的傅立葉的實體系統内

,

頻率是

個不變的性質

,

進而系統對于複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦

信号的響應來擷取

;5. 

著名的卷積定理指出

:

傅立葉變換可以化複變換可以利

用數字計算機快速的算出

(

其算法稱為快速傅立葉變換算法

(FFT))

。

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正是由于上述的良好性質

,

傅裡葉變換在實體學、數論、組合數學、信号處理、

機率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用。