關于B樹和B+樹

背景

首先，來談談B樹。為什麼要使用B樹？我們需要明白以下兩個事實：

一

不同容量的存儲器，通路速度差異懸殊。以磁盤和記憶體為例，通路磁盤的時間大概是ms級的，通路記憶體的時間大概是ns級的。有個形象的比喻，若一次記憶體通路需要1秒，則一次外存通路需要1天。是以，現在的存儲系統，都是分級組織的。

最常用的資料盡可能放在更高層、更小的存儲器中，隻有在目前層找不到，才向更低層、更大的存儲器中尋找。這也就解釋了，當處理大規模資料的時候（指無法将資料一次性存入記憶體），算法的實際運作時間，往往取決于資料在不同存儲級别之間的IO次數。是以，要想提升速度，關鍵在于減少IO。

二

磁盤讀取資料是以資料塊(block)（或者：頁，page）為基本機關的，位于同一資料塊中的所有資料都能被一次性全部讀取出來。

換句話說，從磁盤中讀1B，與讀1KB幾乎一樣快！是以，想要提升速度，應該利用外存批量通路的特點，在一些文章中，也稱其為磁盤預讀。系統之是以這麼設計，是基于一個著名的局部性原理：

當一個資料被用到時，其附近的資料也通常會馬上被使用，程式運作期間所需要的資料通常比較集中

B樹

假設有10億條記錄（100010001000），如果使用平衡二叉搜尋樹（Balanced Binary Search Tree, BBST），最壞的情況下，查找需要log(2, 10^9) = 30次 I/O 操作，且每次隻能讀出一個關鍵字（即如果這次讀出來的關鍵字不是我要查找的，就要再進行一次I/O去讀取資料）。如果換成B樹，會是怎樣的情況呢？

B 樹是為了磁盤或其它輔助儲存設備而設計的一種多叉平衡搜尋樹。多級存儲系統中使用B樹，可針對外部查找，大大減少I/O次數。通過B樹，可充分利用外存對批量通路的高效支援，将此特點轉化為優點。 每下降一層，都以超級結點為機關（超級結點就是指一個結點内包含多個關鍵字），從磁盤中讀入一組關鍵字。那麼，具體多大為一組呢？

一個節點存放多少資料視磁盤的資料塊大小而定，比如磁盤中1 block的大小有1024KB，假設每個關鍵字的大小為 4 Byte，則可設定每一組的大小m = 1024 KB / 4 Byte = 256。目前，多數資料庫系統采用 m = 200~300。假設取m = 256，則B樹存儲1億條資料的樹的高度大概是 log(256, 10^9) = 4，也就是單次查詢所需要進行的I/O次數不超過 4 次，由此大大減少了I/O次數。

一般來說，B樹的根節點常駐于記憶體中，B樹的查找過程是這樣的：首先，由于一個節點内包含多個（比如，是256個）關鍵碼，是以需要先順序/二分來查找，如果找到則查找成功；如果失敗，則根據相應的引用從磁盤中讀入下一層的節點資料（這裡就涉及到一次磁盤I/O），同樣的在節點内順序查找，如此往複進行…事實上，B樹查找所消耗的時間很大一部分花在了I/O上，是以減少I/O次數是非常重要的。

B樹的定義

B樹就是平衡的多路搜尋樹，所謂的m階B樹，即m路平衡搜尋樹。根據維基百科的定義，一棵m階B樹需滿足以下要求：

• 每個結點至多含有m個分支節點（m>=2）。
• 除根結點之外的每個非葉結點，至少含有┌m/2┐個分支。
• 若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子。
• 一個含有k個孩子的非葉結點包含k-1個關鍵字。（每個結點内的關鍵字按升序排列）
• 所有的葉子結點都出現在同一層。實際上這些結點并不存在，可以看作是外部結點。

根據節點的分支的上下限，也可以稱其為(┌m/2┐, m)樹。比如，階數m=4時，這樣的B樹也可以稱為(2,4)樹。（事實上，(2,4)樹是一棵比較特殊的B樹，它和紅黑樹有着特别的淵源！後面談及紅黑樹時會談到。）

并且，每個内部結點的關鍵字都作為其子樹的分隔值。比如，某結點含有2個關鍵字（假設為a1和a2），也就是說該結點含有3個子樹。那麼，最左子樹的關鍵字均小于a1；中間子樹的關鍵字介于a1~a2；最右子樹的關鍵字均大于a2。

示例，一棵3階的B樹是這個樣子：

B樹的高度（了解）

假定一棵B樹非空，具有n個關鍵字、高度為h（令根結點為第1層）、階數為m，那麼該B樹的最大高度和最小高度分别是多少？

最大高度

當樹的高度最大時，則每個結點含有的關鍵字數應該盡量少。根據定義，根結點至少有2個孩子（即1個關鍵字），除根結點之外的非葉結點至少有┌m/2┐個孩子（即┌m/2┐-1個關鍵字），為了描述友善，這裡令p = ┌m/2┐。

• 第1層 1個結點 （含1個關鍵字）
• 第2層 2個結點 （含2*(p-1)個關鍵字）
• 第3層 2p個結點 （含2p*(p-1)^2個關鍵字）
• …
• 第h層 2p^(h-2)個結點

故總的結點個數n

​

​≥ 1+(p-1)*[2+2p+2p^2+...+2p^(h-2)]​

​

​

​≥ 2p^(h-1)-1​

​

進而推導出 h ≤ log_p[(n+1)/2] + 1 （其中p為底數，p=┌m/2┐）

最小高度

當樹的高度最低時，則每個結點的關鍵字都至多含有m個孩子（即m-1個關鍵字），則有

​

​n ≤ (m-1)*(1 + m + m^2 +...+ m^(h-1)) = m^h - 1​

​

進而推導出 h ≥ log_m(n+1) （其中m為底數）

B+樹

B+樹的定義

B+樹是B樹的一個變體，B+樹與B樹最大的差別在于：

• 葉子結點包含全部關鍵字以及指向相應記錄的指針，而且葉結點中的關鍵字按大小順序排列，相鄰葉結點用指針連接配接。
• 非葉結點僅存儲其子樹的最大（或最小）關鍵字，可以看成是索引。

一棵3階的B+樹示例：（好好體會和B樹的差別，兩者的關鍵字是一樣的）

• B+樹更适合外部存儲。由于内結點不存放真正的資料（隻是存放其子樹的最大或最小的關鍵字，作為索引），一個結點可以存儲更多的關鍵字，每個結點能索引的範圍更大更精确，也意味着B+樹單次磁盤IO的資訊量大于B樹，I/O的次數相對減少。
• MySQL是一種關系型資料庫，區間通路是常見的一種情況，B+樹葉結點增加的鍊指針，加強了區間通路性，可使用在區間查詢的場景；而使用B樹則無法進行區間查找。