求學劍橋
劍河上的牛頓橋
1661年，牛頓如願以償，成為劍橋大學三一學院的學生。牛頓如饑似渴，古希臘哲學家柏拉圖、亞裡士多德以及同時代哲學家和科學家笛卡兒、伽桑狄、霍布斯、波義耳、伽利略、開普勒等的著作如甘泉般滋潤着他的心靈，為他提供豐富的思想養料，并促進他的獨立思考。1664年，他在自己撰寫的題為《哲學的若幹問題》的小冊子中寫道：“柏拉圖是我的朋友，亞裡士多德亦是我的朋友，但我最好的朋友是真理！”
剛進劍橋的時候，牛頓的數學知識少得可憐。大二時，他在劍橋大學附近的集市裡買到一本有關占星術的書，但書中的數學内容使他如墜五裡雲霧。為此，他想從一本三角學著作開始學習數學，但由于缺少幾何知識，他還是裹足不前。或許是在他的恩師、剛剛擔任三一學院盧卡斯數學教授的巴羅先生的建議下，他開始閱讀《幾何原本》。從此，他逐漸走進數學世界。前輩數學家的著作為他學習和研究數學創造了良好的條件。1631年，他的校友、國王學院畢業生奧特雷德出版《數學之鑰》；1646年，荷蘭數學家舒騰編輯出版《韋達數學全集》；1649年，舒騰又出版笛卡兒《幾何學》的拉丁文版（1659年再版）；1655年，牛津大學薩維利幾何學教授沃利斯出版《無窮算術》。
自然哲學之數學原理（1687）
牛頓不斷從這些數學著作中擷取靈感，有理數指數情形的二項式定理就是其中的典型一例。沃利斯在《無窮算術》中獲得了一系列曲線
下的面積（在上），它們分别為
我們今天有了二項式定理和定積分知識，很容易得到上述結果。但是，牛頓上大學以前，對正整數情形的二項式定理一無所知，雖然帕斯卡早在1654年就寫好了《論算術三角形》，但該書的出版卻是在帕斯卡去世之後的1665年。但觀察沃利斯的結果，牛頓馬上就發現了面積表達式中的規律（按照升幂的順序）：
- 各項系數的符号交錯出現；
- 各項系數的分母為奇數1，3，5，7，…；
- 第二項系數的分子為等差數列1，2，3，4，…；
- 各項系數的分子依次對應于為11的乘方的各位數，即對應于以下數表中每一行：
- 若第二項系數的分子為，則以後各項系數的分子分别為
牛頓馬上将上述規律類比到以下曲線下的面積：
分别得到
牛頓又把上述規律類比到更多的曲線，如
在得到上述規律之後，牛頓馬上得出原函數的無窮級數表達式：
一般地，牛頓得到
這樣，牛頓在數學史上首次将二項式定理推廣到一般有理數指數的情形。如果說帕斯卡為正整數指數幂情形下的二項式定理劃上了句号，那麼，牛頓則完全超越了他的前輩，書寫了二項式定理的嶄新篇章。牛頓二項式定理在數學上是如此重要、如此著名，以緻在牛頓去世之後，有好事者猜測該定理會被刻在他的墓碑上（事實上并沒有）。
倫敦瘟疫
麗塔 . 格雷爾油畫“大瘟疫1665”（2009）
1665年4月，牛頓獲得了學士學位。正當牛頓躊躇滿志、繼續向劍橋大學三一學院研究員的目标邁進之際，一百公裡以外的倫敦爆發瘟疫的壞消息不斷傳來。瘟疫從倫敦城的外圍迅速蔓延到了市中心，每周的死亡人數不斷攀升。丹尼爾.笛福說得好：“瘟疫像一場大火，如果起火的地方隻有幾座房屋受牽連，那就隻會燒毀幾座房屋；如果是在單幢房，或者按我們的叫法是在孤房裡燒起來，那就隻會燒毀那座起火的孤房：但如果是在一座建築密集的市鎮或城市裡燒起來，到了緊急關頭，火勢越來越猛，那它就會在這整個地方蔓延開來，然後将所到之處吞噬殆盡！”到夏天，疫情肆虐達到了頂峰，不僅使整座倫敦城籠罩在死亡的陰影中，而且對倫敦周圍地區構成了巨大的威脅。關閉學校、返鄉隔離的通知下達到了劍橋大學的每一個學院。
回到故鄉
烏爾索普村牛頓家的房子（采自E. F. 金《牛頓傳略》）
牛頓收拾行囊，回到了故鄉——林肯郡的烏爾索普村（今屬格蘭瑟姆市）。牛頓家的房子是他祖父于1632年購得，給生于斯長于斯的牛頓留下了許許多多童年和少年時代的回憶。母親在第二次婚姻中給他增添了同母異父的一個弟弟和兩個妹妹。十四歲時，繼父（一位牧師）亡故，母親帶着三個孩子回到烏爾索普。彼時，牛頓在離家八英裡的格蘭瑟姆文法學校讀書，但母親卻希望牛頓能夠好好務農，承擔持家重任，并不可思議地讓他中途辍學！對農事了無興趣的他，身上哪有一星半點的農夫基因？每到周末，母親就讓一位老仆人陪伴他去格蘭瑟姆的市場上出售一些農作物，并購買一些生活必需品。但他壓根兒就不适合做買賣。有時牛頓偷偷溜回學校宿舍，有時會蹲在籬笆邊，忘我地看書。他還在一場暴風雨中，做了一次測量風力的實驗。在叔父（曾經的劍橋高材生）的關心之下，他才回到格蘭瑟姆的課堂，并以就讀劍橋大學為目标。
避疫期間
昆丁 . 布雷克插畫作品：蘋果樹下的牛頓（2009）
我們可以想象，避疫期間的牛頓，活動範圍不會很大，和家人的交流也不會很多，基本上就在自己家裡讀書、靜思、寫作。大疫關閉了大學校園，卻關閉不了牛頓的精神世界！
在避疫的兩年時間裡，牛頓在數學、光學和力學領域取得了重要突破。在微積分方面，牛頓于1665年構想了“流數術”。我們今天所說的函數，被牛頓稱為“流量”（注意，不是我們今天所說的手機“流量”哦）；函數的導數，被牛頓稱為“流數”。“流數”的概念似乎源于實體學中的速度概念——“流量”流動的速度就是“流數”。牛頓通過在表示“流量”的字母上方加一點來表示該流量的“流數”。假設“流量”是，則其“流數”為
顯然，牛頓所求的“流數”就是我們今天所說的“導數”。牛頓将上述比成為“初生量的初始比”或“消失量的終極比”。由于牛頓沒有嚴格的極限概念，是以上述求流數的方法并不嚴謹，以緻日後受到貝克萊大主教的激烈批判。另外，由于返校後沒有及時發表他的“流數術”，導緻日後他與萊布尼茨之間無休止的微積分發明權之争。
構想了“流數術”之後，牛頓将它應用于求曲線的切線和曲率。我們相信，在烏爾索普老家，牛頓關于微積分的思考遠遠不止“流數術”，因為他同時也在思考：如何根據“流數”來求“流量”。在“流數術”的應用過程中，牛頓很可能還悟出，前輩數學家眼中風馬牛不相及、需要采用不同技巧才能加以解決的求切線問題、求最大值和最小值問題，都可以統一采用同一種分析方法；求切線問題和求面積問題所需要的不過是互逆的兩種運算而已。近兩個世紀之後，在遙遠的東方，中國數學家李善蘭在學習微積分之後，不禁發出如下贊歎：
“
由是，一切曲線、曲線所函面、曲面、曲面所函體，昔之所謂無法者，今皆有法；一切八線求弧背、弧背求八線、真數求對數、對數求真數，昔之視為至難者，今皆至易。嗚呼！算術至此觀止矣，蔑以加矣！
”
微積分是數學史上最重要的發明，它使數學這門古老的學科插上了騰飛的翅膀，使其以前所未有的速度向前發展；同時，它為人類認識世界、解決不同知識領域中的難題提供了一把萬能鑰匙。微積分能夠幫助我們更深刻地了解什麼是“積微成著”，什麼是“水滴石穿”，什麼是“失之毫厘，謬以千裡”，什麼是“一寸光陰一寸金，寸金難買寸光陰”，什麼是“一沙一世界，一花一天堂，雙手握無限，刹那是永恒”。
如果把人的成就比作“流量”，那麼他經過每一瞬間“ο”之後，這“流量”的增量與這個“ο”的比值，正刻畫了人生的“流數”，即一個人進步的速度。
牛頓在烏爾索普的第二項重要發現是太陽光的分解。從亞裡士多德時代開始人們就一直相信，太陽光是純粹的單色光。1666年，牛頓從附近集市上買來三棱鏡，并進行光學實驗——後來成了科學史上最著名的實驗之一。通過暗室中的三棱鏡實驗，他驚奇地發現，太陽光被分解成了紅、橙、黃、綠、藍、靛、紫七種不同顔色！我們完全可以想象，牛頓的書房不知不覺成了他實施科學探究的實驗室。
德國郵票上的牛頓與三棱鏡實驗
牛頓的第三項發現因蘋果落地的故事而廣為人知：在烏爾索普的一棵蘋果樹下，一隻蘋果從樹上掉下來，激發了牛頓關于萬有引力的靈感。當然，也有人懷疑故事的真實性，包括19世紀著名數學家德摩根；但更多的人都相信故事是真實發生過的：在那甯靜的鄉間，習慣于在蘋果樹下思考問題的牛頓，突然聽到一隻蘋果落在地上發出聲響，因而思索蘋果落地的原因，最終徹悟宇宙的普遍規律。如果換一個人，換一個時間，一個生活在5G時代、對自然界的秘密毫無好奇心的庸人在蘋果樹下用蘋果手機刷着微信，突然聽到蘋果的落地聲，于是浮想聯翩、靈光閃現……那不用說是無聊的杜撰。但是，蘋果樹下坐着的是1666年避疫在家的牛頓，你很難讓人相信這僅僅是人們的臆想。實際上，牛頓的侄女凱瑟琳.巴頓曾經向參加過牛頓葬禮的法國思想家伏爾泰講起過這則故事，1741-1752年間擔任英國皇家學會會長的馬丁.福克斯也和他人說起過這則故事。
後來，牛頓用數學的方法證明了萬有引力定律以及力學三大定律，并将其寫進《自然哲學的數學原理》（1687）中。歐洲的知識階層普遍認為：上帝創造了世界，而牛頓發現了上帝創造世界的方法！萬有引力定律以及其他力學定律的發現，深刻地改變了人類的世界觀，人類不再像英國哲學家休谟所說的那樣，“被懸挂在永恒的疑懼之中”，“既沒有足夠的智慧預見未來，也沒有能力防止那些使我們不斷受傷害的不幸事件發生”，而是堅信：自然界是有規律的，而規律是可以認識的，并且是用數學來刻畫的！
1727年，英國詩人蒲柏為牛頓撰寫了墓志銘：
“
自然和自然的規律在黑夜裡隐藏， 上帝說，‘讓牛頓來吧’， 于是一切都變得光亮。
”
回顧牛頓避疫期間的科學發現，我們不禁要問：在整個人類曆史上，還有誰能擁有如此不平凡的兩年時光？
疫情過後
牛頓塑像（采自E. F. 金《牛頓傳略》）
1666年，倫敦大疫伴随着一場全所未有的大火而畫上了句号。劍橋大學于1667複課，牛頓和其他學生一樣，從家鄉傳回。四年的積累，兩年的沉澱，如今的牛頓業已成為世界一流的數學家和實體學家。就在劍橋大學複課當年的10月份，他被選為低級研究員（minor fellow），翌年7月，他又被選為進階研究員（major fellow）。巴羅教授敏銳地發現了牛頓的才能，于1669年将這位學生的論文寄給倫敦的柯林斯（柯林斯和世界各地的數學家有着廣泛的通信聯系），希望他通過通信，讓世界上更多的數學家了解牛頓。同年，巴羅毅然辭去盧卡斯教授職位，并力薦牛頓作為他的繼任者。27歲的牛頓順利成為盧卡斯數學教授。
從此，一顆璀璨的科學新星，不僅點亮了工業革命的前程，更是照亮了人類文明的天空。
結語
牛頓墓（威斯敏斯特教堂）
1665年的那場大疫，讓無數人生活在恐懼、谵妄和迷信之中。作為一名劍橋學子，牛頓可能并沒有為抗疫做出過什麼直接的貢獻，但他通過自己的科學著作，給予人類前所未有的理性，正是這種理性，一方面，讓人類在遇到災難的時候，能夠沉着冷靜、充滿信心地去尋找科學的治疫良方；另一方面，他很好地利用了避疫的兩年時光，心無旁骛地做自己喜歡的研究工作，一舉超越了他在劍橋的所有同學，為未來的發展打下堅實的基礎。
三個半世紀之後的今天，人間又逢瘟疫。絕大多數居家避疫的人或悼念逝者，或為病者祈福，或給予疫區微薄捐助，或充當鍵盤俠發正義之聲，或不停轉發各類資訊（其中謠言甚多），除此之外，對于疫情本身大抵是無所作為的。無聊乎？厭倦乎？茫茫然無所适從乎？飽食終日無所事事乎？想想烏爾索普村那棵蘋果樹下的牛頓。
一個人在自己專業領域的耕耘、堅守與創獲，正是大疫期間讓自己有功于國家、有益于世界的正途。
作者簡介：汪曉勤，華東師範大學教師教育學院教授，博士生導師，HPM工作室主持人。主要從事數學史與數學教育研究。
注：本文為作者給《上海HPM通訊》寫的刊首語。與本文相關的作者經典著作《HPM：數學史與數學教育》：