方陣的特征值與特征向量

$A$是$n$階方陣，如果對于數$\lambda$，存在非零向量$\alpha$，使得$A \alpha=\lambda \alpha\quad (\alpha \ne \boldsymbol{0})$成立，則稱$\lambda$是$A$的特征值，$\alpha$是$A$的對應于$\lambda$的特征向量

性質：

不同特征值的特征向量線性無關
任取特征值$\lambda$，線性無關的特征向量的個數$\leq \lambda$的重數
$A$的特征值為$\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$，則$\begin{cases}|A|=\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}=\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}\tr(A)=\sum\limits^{n}{i=1}a{ii}=\sum\limits^{n}{i=1} \lambda{i}\end{cases}$

步驟：

$| \lambda E-A|=O$，解得$\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$
解$[\lambda_{i}E-A]X=0$的解，得到特征向量

例1：求矩陣$A=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 \ 0 & 2 & 0 \ -4 & 1 & 3\end{pmatrix}$的特征值和特征向量

$\begin{aligned}|\lambda E-A|&=\begin{vmatrix}\lambda+2&-1&-1\0&\lambda -2&0\4&-1&\lambda-3\end{vmatrix}\&=(-1)^{2+2}(\lambda-2)\begin{vmatrix}\lambda+2&-1\4&\lambda-3\end{vmatrix}\&=(\lambda-2)^2(\lambda+1)\&=0\end{aligned}$

解得$\lambda_{1}=\lambda_{2}=2$

當$\lambda_{1}=\lambda_{2}=2$時

$\begin{aligned}(2E-A)&=\begin{pmatrix}4 & -1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \ 4 & -1 & -1\end{pmatrix}\\rightarrow& \begin{pmatrix}1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}$

解得$\alpha_{1}=(\frac{1}{4},1,0)^T,\alpha_{2}=(\frac{1}{4},0,1)^T$

當$\lambda_{3}=-1$時

$\begin{aligned}(-E-A)&=\begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \ 0 & -3 & 0 \ 4 & -1 & -4\end{pmatrix}\\rightarrow&\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}$

解得$\alpha_{3}=(1,0,1)^T$

故

當$\lambda_1=\lambda_2=2$時，特征向量為$k_{1}\alpha_1+k_{2}\alpha_{2}\quad(k_1,k_2$不同時為$0)$

當$\lambda_{3}=-1$時，特征向量為$k_3\alpha_3\quad(k_{3}$為非零常數$)$

例2：設$\lambda$是方陣$A$的特征值，證明

$\lambda^2$是$A^{2}$的特征值

$\because \lambda$為$A$特征值

故$\exists \alpha \ne \boldsymbol{0}$，使$A \alpha=\lambda \alpha$

設$\alpha$為$\lambda$的特征向量

$A^{2}\alpha=A(A \alpha)=\lambda A \alpha=\lambda^{2}\alpha$

故$\lambda^2$為$A^2$為特征值，且$\alpha$為$\lambda^2$對應的特征向量

當$A$可逆時，$\frac{1}{\lambda}$是$A^{-1}$的特征值

$\because A$可逆

對$A \alpha=\lambda \alpha$左乘$A^{-1}$

得$\alpha=A^{-1}\lambda \alpha=\lambda A^{-1}\alpha$

即$A^{-1} \alpha=\frac{1}{\lambda}\alpha$

故$\frac{1}{\lambda}$為$A^{-1}$的特征值

推廣：

$A$	$A^-1$	$f(A)$	$A^{-1}$	$A^*$	$P^{-1}AP$
$\lambda$	$\frac{1}{\lambda}$	$f(\lambda)$	$\lambda$	$\frac{\|A\|}{\lambda}$	$\lambda$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	無明顯規律	$\alpha$	$P^{-1}\alpha$

其中

$f(A)$是$A$的多項式，例如$A^{3}+2A^{2}+6E$，則對應$f(\lambda)=\lambda^3+2\lambda^{2}+6$
$P^{-1}AP$表示$A$的相似矩陣

例3：設$3$階矩陣$A$的特征值為$1,-1,2$，求$A^*+3A-2E$的特征值

$|A|=-2$

當$A$的特征值為$1$時，$A^*$的特征值為$-2$

當$A$的特征值為$-1$時，$A^*$的特征值為$2$

當$A$的特征值為$2$時，$A^*$的特征值為$-1$

故$A^*+3A-2E$的特征值為$\frac{|A|}{\lambda}+3\lambda-2$

即為$-2+3\times1-2=-1,2+3\times(-1)-2=-3,(-1)+3\times2-2=3$

相似矩陣

一、相似矩陣

1. 相似矩陣的定義

設$A,B$都是$n$階矩陣，若有可逆矩陣$P$，使$P^{-1}AP=B$，則稱$B$是$A$的相似矩陣，或說矩陣$A$與$B$相似。對$A$進行運算$P^{-1}AP$稱為對$A$進行相似變換，可逆矩陣$P$稱為把$A$變成$B$的相似變換矩陣

2. 相似矩陣的性質

若$n$階矩陣$A$與$B$相似，則$A$與$B$的特征多項式相同，進而$A$與$B$的特征值亦相同

二、相似對角化

1. 相似對角化的定義

若$n$階矩陣$A$與對角陣$\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1 & & & \ & \lambda_2 & & \ & & \ddots & \ & & & \lambda_{n}\end{pmatrix}$相似，則$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$即是$n$個特征值

2. 相似對角化的充要條件

$k$重特征值含有$k$個線性無關的特征向量
$n$階矩陣$A$與對角陣相似（即$A$能對角化）的充分必要條件是$A$有$n$個線性無關的特征向量

3. 相似對角化的充分條件

$A$是對稱矩陣
如果$n$階矩陣$A$的$n$個特征值互不相等，則$A$與對角陣相似

例1：設$A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \ 1 & 1 & x \ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$，問$x$為何值時，矩陣$A$能對角化

先看是不是對稱矩陣，發現不是

再算特征值，看特征值是否都不相等

$\begin{aligned}|\lambda E-A|&=\begin{vmatrix}\lambda & 0 & -1 \ -1 & \lambda-1 & -x \ -1 & 0 & \lambda\end{vmatrix}\&=(-1)^{2+2}(\lambda-1)\begin{vmatrix}\lambda&-1\-1&\lambda\end{vmatrix}\&=-(\lambda+1)(\lambda-1)^{2}=0\end{aligned}$

解得$\lambda_{1}=\lambda_{2}=1,\lambda_{3}=-1$

發現特征值不相等，則不能使用充分條件，考慮充要條件

當$\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$時

解$(1\cdots E-A)X=0$

需要組成基礎解系的個數為$2$個

$\therefore n-r(1E-A)=2$，其中$n$為$3$

得$r(1E-A)=1$

$(E-A)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \ -1 & 0 & -x \ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & -1-x \ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

當$x=-1$時，$r(E-A)=1$

$\therefore n-r(E-A)=3-1=2$

故此時矩陣$A$可對角化

實對稱矩陣的對角化

一、實對稱矩陣的定義

元素$a_{ij}$都是實數的對稱矩陣稱為實對稱矩陣，即$A^T=A$

二、實對稱矩陣的性質

設$\lambda_{1},\lambda_{2}$是對稱陣$A$的兩個特征值，$p_1,p_2$是對應的特征向量。若$\lambda_{1}\ne \lambda_{2}$，則$p_{1}$與$p_{2}$正交且線性無關
設$A$為$n$階對稱陣，則必有正交陣$P$，使$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$，其中$\Lambda$是以$A$的$n$個特征值為對角元的對角陣
設$A$為$n$階對稱陣，$\lambda$是$A$的特征方程的$k$重根，則矩陣$\lambda E-A$的秩$R(\lambda E-A)=n-k$，進而對應特征值$\lambda$恰有$k$個線性無關的特征向量

三、施密特正交化

一般地，用數學歸納法可以證明

設$\alpha_1,\cdots,\alpha_{m}(m\leq n)$是$R^{n}$中的一個線性無關的向量組，若令$$\begin{gathered}\beta_1=\alpha_1\\beta_2=\alpha_{2}-\frac{\langle\alpha_{2},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_1\\beta_{m}=\alpha_{m}-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_{1}-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{2}\rangle}{\langle\beta_{2},\beta_{2}\rangle}\beta_{2}-\cdots-\frac{\langle\alpha_{m},\beta_{m-1}\rangle}{\langle\beta_{m-1},\beta_{m-1}\rangle}\beta_{m-1}\end{gathered}$$

則$\beta_{1},\cdots,\beta_{m}$就是一個正交向量組，若再令$$e_{i}=\frac{\beta_i}{||\beta_{i}||}(i=1,2,\cdots,m)$$

就得到一個标準的正交向量組$e_{1},\cdots,e_{m}$，且該向量組與$\alpha_1,\cdots,\alpha_m$等價

例1：設$A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$，求一個正交陣$P$，使$P^{-1}AP=\Lambda$為對角陣

$\begin{aligned}|\lambda E-A|&=\begin{vmatrix}\lambda&1&-1\1&\lambda&-1\-1&-1&\lambda\end{vmatrix}\&=\begin{vmatrix}\lambda&2&-1\1&\lambda+1&-1\0&0&\lambda-1\end{vmatrix}\&=(-1)^{3+3}(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2)\&=(\lambda-1)^2(\lambda+2)=0\end{aligned}$

解得$\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=-2$

當$\alpha_1=\alpha_2=1$時

$(1E-A)\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

解得，$\alpha_{1}=(0,1,1)^T,\alpha_2=(1,0,1)^T$

當$\alpha_{3}=-2$時

$(-2E-A)\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

解得，$\alpha_{3}=(-1,-1,1)^T$

令

$\beta_1=\alpha_1=(0,1,1)$

$\beta_2=\alpha_2-\frac{\langle\alpha_{2},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_1=\begin{pmatrix}1 \ 0 \ 1\end{pmatrix}-\frac12 \begin{pmatrix}0 \ 1 \ 1\end{pmatrix}=\frac12 \begin{pmatrix}2 \ -1 \ 1\end{pmatrix}$

機關化

令

$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 \ 1 \ 1\end{pmatrix},e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}2 \ -1 \ 1\end{pmatrix},e_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1 \ -1 \ 1\end{pmatrix}$

令$P=\begin{pmatrix}0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}$

使$P^TAP=\Lambda=\begin{pmatrix}1 & & \ & 1 & \ & & -2\end{pmatrix}$

二次型及其标準形

一、二次型的定義

$n$個變量的一個二次齊次多項式

\begin{aligned}

f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+&2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n\

+&a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n\

&\cdots\

&+a_{nn}x_n^2

\end{aligned}

稱為$n$個變量的二次型，系數均為實數時，稱為$n$元實二次型

二次型的矩陣形式為$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n\end{pmatrix}=x^TAx$。其中$A^T=A$為對稱矩陣，稱為二次型$f$的對應矩陣

二、合同的定義

設$A$和$B$是$n$階矩陣，若有可逆矩陣$C$，使$B=C^TAC$，則稱矩陣$A$與$B$合同。記作$A\simeq B$

三、用正交變換法化二次型為标準形

任給定二次型$f=\sum^{n}{i,j=1}a{ij}x_iy_j(a_{ij}=a_{ji})$，總有正交變換$x=Py$，使$f$化為标準形$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$，其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是$f$的矩陣$A=(a_{ij})$的特征值

例1：求一個正交變換$x=Py$，把二次型$f=-2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$化為标準形

$A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$

$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda&1&-1\1&\lambda&-1\-1&-1&\lambda\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda&2&-1\1&\lambda+1&-1\0&0&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2(\lambda+2)=0$

得$\lambda_1=\lambda_2=1,\lambda_3=2$

當$\lambda_1=\lambda_2=1$時

$(E-A)\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

解得$\alpha_1=(-1,1,0)^T,\alpha_2=(1,0,1)^T$

當$\lambda_3=-2$時

$(-2E-A)\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

得$\alpha_3=(-1,-1,1)^T$

令$\beta_1=(-1,1,0)^T,\beta_2=\alpha_2-\frac{\langle\alpha_{2},\beta_{1}\rangle}{\langle\beta_{1},\beta_{1}\rangle}\beta_{1=\frac12}\begin{pmatrix}1 \ 1 \ 2\end{pmatrix}$

則$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1 \ 1 \ 0\end{pmatrix},e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1 \ 1 \ 2\end{pmatrix},e_3=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1 \ -1 \ 1\end{pmatrix}$

令$P=(e_1,e_2,e_3)=\begin{pmatrix}- \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}$

則在正交變換$x=Py$下

能将二次型$f$變換成标準形

即$f \overset{x=Py}{=}y_{1}^2+y_2^2+2y_3^2$

四、用配方法化二次型為标準形

主要思路：湊完全平方

$f \overset{x=Cy}{=}d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2$

例2：化二次型$f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3$稱标準形，并求所用的變換矩陣

先配所有含有$x_1$的平方，減去多餘的，然後配$x_2$，依次向後

$\begin{aligned}f&=(x_1+x_2+x_3)^2-x_2^2-x_3^2-2x_2x_3+2x_2^2+5x_3^2+6x_2x_3\&=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+4x_3^2+4x_2x_3\&=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^2-4x_3^2+4x_3^2\&=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}+(x_{2}+2x_{3})^{2}+0\cdot x_3^2\end{aligned}$

令$\begin{cases}y_1=x_1+x_2+x_3\y_2=x_2+2x_3\y_3=x_3\end{cases}$

則$\begin{cases}x_1=y_1-y_2+y_3\x_2=y_2-2y_3\x_3=y_3\end{cases}$

令$C=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \ 0 & 1 & -2 \ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

令$x=Cy$

将二次型化為标準形$f=y_1^2+y_2^2$

正定二次型

一、正負慣性指數的定義

設有二次型$f=x^TAx$，它的秩為$r$，有兩個可逆變換$x=Cy$及$x=Pz$使$f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ry_r^2\quad(k_i\ne0)$，及$f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\cdots+\lambda_rz_r^2\quad(\lambda_i\ne0)$則$k_1,\cdots,k_r$中正數的個數與$\lambda_1,\cdots,\lambda_r$中正數的個數相等

二次型的标準形中正系數的個數稱為二次型的正慣性指數，記作$p$，負系數的個數稱為負慣性指數，記作$q$

二、正定二次型

1. 正定二次型的定義

設有二次型$f(x)=x^TAx$，如果對任何$x\ne0$，都有$f(x)>0$（顯然$f(0)=0$），則稱$f$為正定二次型，并稱對稱陣$A$是正定的；如果對任何$x\ne0$都有$f(x)<0$，則稱$f$為負定二次型，并稱對稱陣$A$是負定的

2. 二次型正定的充要條件

$n$元二次型$f(x)=x^TAx$為正定的充分必要條件是：它的标準形的$n$個系數全為正，即它的規範形的$n$個系數全為$1$，亦即它的正慣性指數等于$n$

矩陣的規範形，即整的系數化為$1$，負的系數化為$-1$，不存在的系數為$0$

例如：$f=2y_1^2+3y_2^2-7y^2_3$，規範形$f=z^2_1+z^2_2-z^2_3$

【線性代數】相似矩陣及二次型方陣的特征值與特征向量相似矩陣實對稱矩陣的對角化二次型及其标準形正定二次型