壓縮感覺（Compressive Sensing）學習之（一）
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壓縮感覺（壓縮傳感，Compressive Sensing）理論是近年來信号處理領域誕生的一種新的信号處理理論，由D. Donoho(美國科學院院士)、E. Candes(Ridgelet, Curvelet創始人)及華裔科學家T. Tao(2006年菲爾茲獎獲得者)等人提出，自誕生之日起便極大地吸引了相關研究人員的關注。網站http://dsp.rice.edu/cs上可以擷取大量相關的論文。
有關壓縮感覺，有兩個科普文章，講得很通俗易懂，可以很好地介紹了壓縮感覺：
http://www.cvchina.info/2010/06/08/compressed-sensing-2/
那什麼叫壓縮感覺？為什麼它的出現吸引了那麼多的目光？
還記得我們在信号與資訊處理有關課程裡面必講的一個知識嗎？它可謂是現代數字信号處理系統理論建立的一個功臣之一。沒錯，就是能将實體世界和數字世界建立連接配接的采樣定理：奈奎斯特采樣定理（Shannon-Nyquist采樣定理）。其要求：在進行模拟/數字信号的轉換過程中，當采樣頻率fs.max大于信号中最高頻率fmax的2倍時，采樣之後的數字信号完整地保留了原始信号中的資訊。
而壓縮感覺的出現，告訴我們：如果信号在某一個正交空間具有稀疏性（即可壓縮性），就能以較低的頻率（遠低于奈奎斯特采樣頻率）采樣該信号，并可能以高機率精确的重建該信号。
在上面所說的一篇科普文章中提到：所謂壓縮感覺，最核心的概念在于試圖從原理上降低對一個信号進行測量的成本。比如說，一個信号包含一千個資料，那麼按照傳統的信号處理理論，至少需要做一千次測量才能完整的複原這個信号。這就相當于是說，需要有一千個方程才能精确地解出一千個未知數來。但是壓縮感覺的想法是假定信号具有某種特點（比如文中所描述得在小波域上系數稀疏的特點），那麼就可以隻做三百次測量就完整地複原這個信号（這就相當于隻通過三百個方程解出一千個未知數）。
在cvchina裡面有一篇很熱的文章《稀疏表達：向量、矩陣與張量》，呵呵，有點深，我看不懂，但裡面開篇的幾張圖像吸引了我：
首先是圖像恢複，由左側圖像恢複出右側結果：
然後是類似的圖像inpainting
然後是圖像去模糊，左上為輸入模糊圖像，右下為輸出清晰圖像及估計的相機運動（其實是PSF），中間均為疊代過程:
再然後是物體檢測（自行車），左側輸入圖像，中間為位置機率圖，右側為檢測結果
當然我個人還推薦Yi Ma的sparse face，這個在對抗噪聲的效果上很棒，比如下圖中左側的那張噪聲圖像（你能辨認是哪位不？這方法可以！）
上面的結果都很amazing，但是怎麼實作的我就不知道了。原部落客既然擺在那，就表明了它是稀疏表達的功勞了。
由于篇幅有點長，是以關于壓縮感覺理論在下篇介紹。