文章目錄
- A 時域分析法基礎
- B 一階系統性能分析與計算
- C 二階系統分析與計算
- D 系統穩定性分析法（一）
- E 系統穩定性分析法（二）
- F 穩态誤差分析計算
A 時域分析法基礎
1 時域分析法特點
- 根據系統微分方程，通過拉氏變換直接求出系統的時間響應；
- 依據響應的表達式及時間響應曲線分析系統性能，
找 出系統結構、參數與這些性能之間的關系
- 是一種直接方法，準确且可提供系統時間響應的全部 資訊。
2 典型的初始狀态、典型外作用
系統的時間響應，不僅取決于系統本身的結構參數，還有系統的初始狀态，以及加在系統的外作用相關。
（1）典型初始狀态
在t=0–時，系統處于靜止狀态，即
（2）典型外作用
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3 典型時間響應
初始狀态為零的系統，在典型外作用下的輸出，稱為 典型時間響應。
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4 階躍響應的性能名額
| 延遲時間 | 指機關階躍響應曲線h(t)上升到其穩态值的50% 所需要的時間。 |
| 上升時間 | 指機關階躍響應曲線h(t)，從穩态值的10%上升到 90%所需的時間。有時候也定義為初始值上升到穩态值的時間 |
| 峰值時間 t p | 指機關階躍響應曲線h(t) 超過其穩态值而 |
| 超調量 | 指機關階躍響應曲線h(t)，超出穩态值的最大偏 移量與穩态值之比，即： |
| 調節時間 | ：在機關階躍響應曲線h(t)的穩态值附近，取或作為誤差帶，響應曲線達到并不在超出該誤差帶的最小時間。 |
| 穩态誤差ess | 指響應的穩态值與期望值之差： |
B 一階系統性能分析與計算
1 數學模型
一階微分方程描述的系統，稱為一階系統。設系統的微分方程為：
其中，T 為時間常數。許多實體系統均可用一階系統來描述其動态過程。
2. 機關階躍響應
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3. 機關斜坡響應
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總結：
- 一階系統的階躍響應是非振蕩的、無超調，響應的快速性僅 取決于時間常數T。
- 一階系統在機關斜坡信号作用下，存在穩态誤差。
需要強調的是：系統時域響應的
快速性及平穩性僅在階躍信号作用下才有意義
，而穩态誤差在其它信号作用下也可以計 算。
C 二階系統分析與計算
1 數學模型
二階微分方程描述的系統，稱為二階系統。設系統的微分方程
為：
其中為無阻尼自然角頻率(弧度/秒)，為阻尼比。
閉環系統傳遞函數：
方框圖：
解方程求得特征根：
取值不同，二階系統的特征根也不同：
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2 二階系統的機關階躍響應
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3 二階欠阻尼系統性能的定性分析
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4 欠阻尼系統的性能名額
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5 時系統的性能名額
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D 系統穩定性分析法（一）
1 穩定性概念
a穩定；b不穩定；
一個控制系統，如果受到擾動，偏離原來的工作狀态，當擾動消失後， 若能恢複到原來的工作狀态，則稱系統是穩定的，否則，系統不穩定。
穩定性可以了解為系統自身的恢複能力，是系統的一種固有特性。對于線性 定常系統，穩定性隻取決于系統的結構、參數，與初始條件和外作用無關。
2 穩定的數學條件
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ps：歐拉方程
系統穩定的充分必要條件是：
系統的特征方程的所有根都具有負實部，或者說都位于s平面的虛軸之左。
如果特征方程有重根，則脈沖響應中具有如下各分量：
k 為重根個數，當時間t 趨近無窮時，這些分量是否收斂到零，仍取決于 特征根的性質。
結論:
判斷系統是否穩定，可以歸結為判斷系統特征根實部的符号：
所有特征根均具有負實部，即 ，系統是穩定的；
隻要有一根特征根的實部大于零，系統不穩定；
若有
實部為零的單根
， 而其餘的特征根都具有負實部，系統處于臨界情況，即
系統既不發散， 也不能恢複到原來的狀态，也屬于不穩定情況
，
如果有實部為零的重根， 系統會發散
。
E 系統穩定性分析法（二）
對于高階方程，計算特征根比較困難，是以使用一種不用計算特征根的方法，直接計算系數即可。
1 勞斯（Routh)穩定性判據
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勞斯判據
-
閉環系統穩定當且僅當
(1)
D(s) 的所有系數為正；
勞斯表的第一列的所有元素為正。
- D(s) 正實部根的個數等于勞斯表第一列元素符号改變的次數。
【自控原理】第三章 線性系統的時域分析法
勞斯判據的特殊情況
- (1) 第一列某個元素為零，但該行其它元素非零；
- (2) 某行的元素全為零。
情況1：用小
正數
代替第一列的零元素。
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情況2：某一行元素全為零(就會出現大小相等方向相反實根或者共轭複根)
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特征方程可以得到系統一部分根
2 相對穩定性分析
為了保證系統有一定的穩定裕度，還常常用相對穩定性的概念。通 常用實部最大的特征根距虛軸的距離表示系統的相對穩定性和穩定裕度.
為了檢驗相對穩定性，可将縱軸左移，如圖所示。
系統穩定條件（1）和（2）
F 穩态誤差分析計算
1 誤差與穩态誤差
（1）誤差的兩種定義
一種是希望輸出與實際輸出之差；一種是希望的輸出與回報信号之差。
（2） 穩态誤差
定義：穩定系統誤差的終值稱為穩态誤差。當時間t時， e(t)極限存在，則穩态誤差為
通常使用終值定理計算：
（3）設的Laplace變換為且及，則
2 穩态誤差的計算
一般地，是的有理分式函數，故當且僅當的極點 均具有負實部就可應用下式計算穩态誤差：
sE(s)的極點均具有負實部的條件中，蘊涵了閉環系統穩定的條件。
3 輸入信号作用下的穩态誤差與系統結構參數的關系
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均為常數項為1的多項式，是以當s趨近于0時，值為1。
控制系統的穩态誤差主要由三方面确定：
- （1)輸入信号R(s)
- （2)系統的開環增益K
- （3)系統的型别，即開環傳遞函數中含有積分環節的個數v。
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由以上分析可見，要消除系統在幂函數輸入信号作用下的穩态誤差， 則要求
增加積分環節的數目
，要減小系統的穩态誤差，則要求
提高開 環增益
。
總結：
1、系統型别與穩态誤差之間的關系僅适用于在輸入信号作用下的穩 态誤差，不适用于幹擾作用下系統的穩态誤差，且誤差的定義為：
2、計算穩态誤差的步驟可歸納為：
（1）根據誤差定義計算E(s）;