第五章 向量代數與空間解析幾何
第一節 向量及其線性運算
向量概念
1.向量的夾角表示
2.0向量與任何向量平行，也與任何向量垂直。零向量的方向不确定，但模的大小确定。
3.向量共面：k個向量的終點和公共起點在一個平面上。
向量的加法與數乘運算
1.加法：平行四邊形法則、三角形法則、交換律、結合律
2.數乘運算律：結合律和配置設定律
3.定理：兩向量平行的充要條件是存在唯一的實數x，使a=x*b。
4.推論：數軸上的點的坐标✖軸上的機關向量=該有向線段
第二節 點的坐标與向量的坐标
空間直角坐标系
1.右手法則：以右手握住z軸，四指沿x軸正向旋轉90°指向y軸正方向，豎起的大母指的方向就是z軸的正向。
2.卦限：俯視角度的逆時針。
3.空間兩點間的距離公式
向量的坐标及向量線性運算的坐标表示
1.标準分解式
2.向徑：一般指位置矢量，指在某一時刻，以坐标原點為起點，以運動質點所在位置為終點的有向線段。
3.兩向量相等的充要條件是其坐标對應相等。
4.有向線段的x等分點
向量的模、方向角和投影
1.模
2.方向角
3.方向餘弦
方向角或方向餘弦完全确定了向量的方向。
4.投影
第三節 向量的乘法運算
向量的數量積（點積、内積）
1.數量積是數。
2.運算律：交換律、配置設定律、數乘結合律
3.兩向量的夾角
向量的向量積（叉積、外積）
1.向量積是向量。
2.模長為平行四邊形的面積。
3.運算律：反交換律、a和a的向量積為0
4.兩向量平行的充要條件：向量積為0
5.計算
向量的混合積
1.混合積是數。
2.a、b、c向量共面的充要條件：混合積為0
3、有關行列式的性質
4.計算
5.混合積的絕對值=平行六面體的體積
第四節 平面
平面的方程（用什麼樣的方程表示平面）
1.點法式
2.三點式（三點确定一個平面）
原理是 三點共面混合積為0
3.一般式：Ax+By+Cz+D=0
D=0,過原點
C=0,平行于z軸
B=C=0,垂直于x軸
A=D=0,通過x軸（因為經過原點且平行于x軸）
4.截距式
兩平面的夾角以及點到平面的距離
1.兩平面的夾角
2.點到平面的距離
第五節 直線
直線的方程
1.參數方程
2.對稱式方程（點向式方程）
3.兩點式
4.一般式
兩直線的夾角、直線與平面的夾角
1.兩直線的夾角
2.直線與平面的夾角
3.直線與平面垂直的充要條件
4.直線與平面平行的充要條件
過直線的平面束
1.一族平面相交于同一條直線
2.求投影直線的一般方程（找過該直線的與要被投影的平面垂直的平面與該投影平面的交線）：
思路：先将平面束方程用p表示成一般形式，再想辦法确定常數p。
找p，使其對應的平面與所給平面垂直，即令兩平面的法向量正交。
解出p，将p代入平面束方程。
求得一般方程。
第六節 曲面與直線
柱面與旋轉曲面
1.柱面
2.旋轉曲面
- 旋轉抛物面
- 旋轉橢球面
-
旋轉雙曲面
- 單葉旋轉雙曲面
- 雙葉旋轉雙曲面
- 圓錐面
空間曲線的方程
1.一般方程
2.參數方程
空間曲線在坐标面上的投影
1.投影柱面
2.投影曲線
3.求解方法：
例：求在xOy面上的投影，消去z後的方程和z=0的聯立，是二者一起表示成的一般式。
第七節 二次曲面
方法：截痕法
二次曲面的方程與圖形
1.橢球面
2.抛物面
- 橢圓抛物面
- 雙曲抛物面（鞍形面）
3.雙曲面
- 單葉雙曲面：有一個截痕是橢圓
- 雙葉雙曲面：有一個截痕是無截痕、一點或橢圓
4.橢圓錐面
曲面的參數方程及其計算機作圖法
第六章 多元函數微分學
第一節 多元函數的基本概念
多元函數
1.基本概念
R^n中的線性運算、距離及重要子集
1.鄰域
2.内點、邊界點和聚點
3.開集與閉集
4.有界集與無界集
5.區域、閉區域
多元函數的極限
多元函數的連續性
性質：
- 有界閉區域D上的多元連續函數是D上的有界函數。
- 有界閉區域D上的多元連續函數在D上存在最大值和最小值。
- 有界閉區域D上的多元連續函數必能取得介于最大值和最小值之間的任何值。
第二節 偏導數
偏導數
1.偏導數的表示方法
2.可偏導：同時存在對x和對y的偏導數
3.幾何意義：斜率
4.如果一個多元函數在某一點可偏導，并不能保證它在該點連續。連續也不能推出可偏導。
高階偏導數
1.純偏導
2.混合偏導
3.定理：二階混合偏導連續，則混合偏導的順序不同也相等
4.波動方程
5.拉普拉斯方程
第三節 全微分
1.偏增量
2.全增量
3.可微
4.全微分
5.可微函數
6.定理：
- 可微的必要條件：
- 由可微可以推出連續、可偏導。
- 可微的充分條件：
-
連續偏導數推出可微。
7.全微分的表示形式
-
第四節 複合函數的求導法則
1.複合函數的中間變量均為一進制函數的情形
2.複合函數的中間變量均為多元函數的情形
3.抽象複合函數的求導法則
第五節 隐函數的求導公式
一個方程的情形
1.二進制函數
2.三元函數
方程組的情形
1.三元函數
2.四元函數
【都是用行列式求】
第六節 方向導數與梯度
方向導數
1.定義
2.幾何意義
梯度
1.定義
2.梯度的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向，它的模=該點處的方向導數的最大值。
3.有勢場與梯度場
第七節 多元函數微分學的幾何應用
空間曲線的切線與法平面
1.切線的方向向量
2.切線方程
3.法平面
曲面的切平面與法線
1.切平面（過點M并以n向量為法向量的平面）
2.切平面的法向量
3.參數方程
等量面與等高線
第八節 多元函數的極值
極大值與極小值
求極值的步驟：
1. 找駐點
2. 對于每個駐點求出對應的A、B、C
3. 确定AC-B^2的符号，在判定是否為極值
條件極值
1.目标函數
2.限制條件
3.拉格朗日乘子法
多元函數最值
沒必要判斷是否為極值點，直接比較即可。
- 無條件極值（閉區域的邊界内）
- 邊界上條件極值
第七章 重積分
第一節 重積分的概念與性質
重積分的概念
1.曲頂柱體的體積
劃分、近似、求和、逼近
2.平面薄片的品質
3.二重積分的定義
被積函數、被積表達式、面積元素、積分變量、積分區域、積分和（黎曼和）
當被積函數恒等于1時，二重積分表示積分區域的面積。
-
三重積分的定義
三重積分沒有幾何意義，隻有實體意義。
如果三元函數在閉區域上連續，那麼它在該閉區域上的三重積分必定存在。
微積分同濟大學第三版下
重積分的性質
1.線性性質
2.區域可加性
3.單調性
4.可積性
5.最大值和最小值
6.中值定理
第二節 二重積分的計算
利用直角坐标計算二重積分
1.對x型區域：先對y再對x
2.對y型區域：先對x再對y
3.既是x型又是y型
4.既不是x型也不是y型：分割
！！！二重積分的對稱性：
- 若D關于x軸對稱
- 若D關于y軸對稱
- 若D關于（0，0）對稱
- 若D關于直線y=x對稱
利用極坐标計算二重積分
1.适用範圍：當積分區域D是圓域或其一部分，或被積函數形如f(x^2 +y^2)。
二重積分的換元法
雅可比行列式
第三節 三重積分的計算
利用直角坐标計算三重積分
1.坐标面投影法
2.坐标軸投影法（截面法）
利用柱面坐标計算三重積分
利用球面坐标計算三重積分
第四節 重積分應用舉例
體積
曲面的面積
質心和轉動慣量
一、
1.力學中關于靜矩和轉動慣量的計算公式最初是對質點給出的。例如，設xOy平面上一質點所占的位置為（x,y），且品質為m，則該質點關于x軸的靜矩為my，轉動慣量為my^2， 關于y軸的靜矩為mx，轉動慣量為mx^2。
2.當單個質點擴充為質點系時，質點系的靜矩和轉動慣量即為質點系和各質點的靜矩和轉動慣量的疊加（數量和）。
3.與靜矩密切相關的一個力學概念是質心。質心坐标是兩個具有可疊加性質的量的商。
4.靜矩：平面圖形的面積與其形心到某一坐标軸的距離的乘積。
5.轉動慣量：剛體繞軸轉動時慣性的量度。轉動慣量在旋轉動力學中的角色相當于線性動力學中的品質，可形式的了解為一個物體對于旋轉運動的慣性，用于建立角動量、角速度、力矩和角加速度等數個量之間的關系。
二、
現在來把上述關于質點系的計算公式推廣到平面薄片和空間物體上。
引力
第八章 曲線積分與曲面積分
第一節 數值函數的曲線積分（第一類曲線積分）
第一類曲線積分的概念
1.柱面的面積
2.曲線形構件的品質
3.數量值函數、曲線積分、被積函數、積分弧、弧長元素
4.當被積函數恒等于1時，曲線積分恒等于積分弧的長度。
5.如果二進制函數在光滑曲線L上連續，那麼曲線積分存在。
6.性質：線性性質、對于積分弧的可加性質
第一類曲線積分的計算法
第二節 數值函數的曲面積分（第一類曲面積分）
第一類曲面積分的概念
1.數量值函數、曲面積分、被積函數、積分曲面、曲面面積元素
2.當被積函數恒等于1時，曲線積分恒等于積分曲面的面積。
3.如果三元函數在光滑曲面上連續，那麼曲面積分存在。
第一類曲面積分的計算法
數值函數在幾何形體上的積分及其實體應用綜述
第三節 向量值函數在定向曲線上的積分（第二類曲線積分）
第二類曲線積分的概念
1.定向曲線及其切向量
2.定向光滑曲線上各點處的切向量的方向總是與曲線的走向相一緻。
3.變力沿曲線所作的功
4.向量值函數、第二類曲線積分、定向弧元素、定向弧L的投影元素、對坐标的曲線積分、定向積分曲線、積分表達式
5.如果二進制函數在定向光滑曲線上連續，則積分存在。
第二類曲線積分的計算法
1.化為定積分計算
2.看作參數方程
第四節 格林公式
格林公式
1.單（複）連通區域及其正向邊界
2.格林定理
平面定向曲線積分與路徑無關的條件
1.與路徑無關
2.定理
曲線積分基本定理
保守場
第九章 無窮級數