反常積分總結

文章目錄

• ​​前言​​
• ​​反常積分​​
• ​​無窮積分​​

• ​​定義​​

• ​​幾點注意​​

• ​​性質&判别法​​

• ​​瑕積分​​

• ​​定義​​
• ​​性質&判别法​​

前言

總結反常積分的定義、判别法與簡單計算。

反常積分

通過變限積分的極限來定義反常積分，包括無窮積分和瑕積分。

無窮積分

定義

設函數定義在無窮區間上，且在任何有限區間上可積。如果存在極限

則稱此極限為函數在上的無窮限反常積分(簡稱無窮積分)，記作

并稱收斂。若極限不存在，亦稱發散。

對于在上的無窮積分，可以作如下定義

其中為任一實數，當且僅當右邊兩個無窮積分都收斂，它才收斂。

幾點注意

• 無窮積分的收斂性與收斂時候的值，都和實數的選取無關；
• 在任何有限區間上，首先必須是可積的。

性質&判别法

• 無窮積分收斂, 隻要, 便有

• 若在任何有限區間上可積，，則與同斂态，且有

  其中等号右邊第一項為定積分(正常積分)。

• 無窮積分收斂, 當時, 有

• 若在任何有限區間上可積，且有收斂，則亦收斂，并有

  當收斂，稱為絕對收斂。

  此性質表明絕對收斂的無窮積分自身也一定收斂。

  收斂而不絕對收斂：條件收斂。

• 比較原則：大函數的無窮積分收斂則小函數的無窮積分收斂(小發散則大發散)。

• 柯西判别法：設函數定義于且在任何有限區間上可積，則有

  則有

• 當，且時，收斂；
• 當，且時，發散；

• 狄利克雷判别法：

  若在上有界，在上當時單調趨于，則收斂。(有界+單調趨于0=>收斂)

• 阿貝爾判别法：

  若收斂，在上單調有界，則收斂。(收斂+單調有界=>收斂)

瑕積分

定義

• 被積函數在點近旁是無界的，點稱為的瑕點。

性質&判别法

• 瑕積分(瑕點為)收斂, 隻要 , 總有
• 柯西判别法：設定義于, 為其瑕點，且在任何上可積，則有：

• 當，且時，收斂；
• 當，且時，發散；