1、機率是什麼
1.1、主觀機率
無内容
1.2、試驗與事件
事件的含義:
- 有一個明确界定的試驗
- 試驗的所有可能結果,在試驗前都是明确的
-
有一個明确的陳述,界定了試驗的全部可能結果的一部分,就叫做一個事件。
事件是與試驗結果相關的一個命題,其正确與否取決于試驗結果如何。
基本事件:單一的試驗結果。
事件又稱随機事件或偶然事件。極端情況是必然事件和不可能事件。
1.3、古典機率
等可能性,P(E)=M/N
局限:隻适用于全部試驗結果為有限個,且等可能性成立的情況。可将等可能性的含義引申至有無限多的試驗結果,轉化為幾何機率。
1.4、機率的統計定義
用頻率作為機率的估計。
1.5、機率的公理化定義
- 0 <= P(A) <= 1
- P(Ω) = 1
- P(φ) = 0
- 滿足加法公理
2、古典機率計算
2.1、排列組合的幾個簡單公式
排列計較次序而組合不計較。
1、n個相異物取r個 (1≤r≤n) 的不同排列總數:
Pnr=n(n−1)(n−2)...(n−r+1)=n!(n−r)!
Prr=r!
0!=1
2、n個相異物取r個 (1≤r≤n) 的不同組合總數:
Cnr=Pnrr!=n!r!(n−r)!
Cnr 也有的寫作 Crn ,更通用的形式為 (nr)
(n0)=1
隻要r為非負整數,n為任何實數均有意義,故n不必限制為自然數,例如:
(−1r)=(−1)(−2)…(−r)/r!=(−1)r
3.與二項式展開的關系:
組合系數 (nr) 又稱為二項式系數,常出現在二項式展開公式中:
(a+b)n=∑i=0n(ni)aibn−i
由上述公式可推導出幾個有用的組合公式:
令a=b=1
(n0)+(n1)+…+(nn)=2n
令a=-1,b=1
(n0)−(n1)+(n2)−…+(−1)n(nn)=0
另一個有用的公式是:
(m+nk)=∑i=0k(mi)(nk−i)
可由 (1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n 進行證明得出。
4.n個相異物件分成k堆,各堆物件數分别為 r1,…,rk 的分法是:
n!r1!,…,rk!
此處的 r1,…,rk 均為非負整數,其和為n,又這裡要計較堆的次序。
一般稱之為多項式系數,因為它是 (x1+…+xk)n 的展開式中 xr11…xrkk 這一項的系數。
2.2、古典機率計算舉例
例1: 共有N個産品,其中有M個次品,從其中随機取出n個,其中剛好有m個次品的機率是多少?
答案:為 (Mm)(N−Mn−m)(NM)