機率論與數理統計_陳希儒版_第一章：事件的機率

1、機率是什麼

1.1、主觀機率

無内容

1.2、試驗與事件

事件的含義：

• 有一個明确界定的試驗
• 試驗的所有可能結果，在試驗前都是明确的

• 有一個明确的陳述，界定了試驗的全部可能結果的一部分，就叫做一個事件。

  事件是與試驗結果相關的一個命題，其正确與否取決于試驗結果如何。

基本事件：單一的試驗結果。

事件又稱随機事件或偶然事件。極端情況是必然事件和不可能事件。

1.3、古典機率

等可能性，P(E)=M/N

局限：隻适用于全部試驗結果為有限個，且等可能性成立的情況。可将等可能性的含義引申至有無限多的試驗結果，轉化為幾何機率。

1.4、機率的統計定義

用頻率作為機率的估計。

1.5、機率的公理化定義

• 0 <= P(A) <= 1
• P(Ω) = 1
• P(φ) = 0
• 滿足加法公理

2、古典機率計算

2.1、排列組合的幾個簡單公式

排列計較次序而組合不計較。

1、n個相異物取r個 (1≤r≤n) 的不同排列總數：

Pnr=n(n−1)(n−2)...(n−r+1)=n!(n−r)!

Prr=r!

0!=1

2、n個相異物取r個 (1≤r≤n) 的不同組合總數：

Cnr=Pnrr!=n!r!(n−r)!

Cnr 也有的寫作 Crn ，更通用的形式為 (nr)

(n0)=1

隻要r為非負整數，n為任何實數均有意義，故n不必限制為自然數，例如：

(−1r)=(−1)(−2)…(−r)/r!=(−1)r

3.與二項式展開的關系：

組合系數 (nr) 又稱為二項式系數，常出現在二項式展開公式中：

(a+b)n=∑i=0n(ni)aibn−i

由上述公式可推導出幾個有用的組合公式：

令a=b=1

(n0)+(n1)+…+(nn)=2n

令a=-1，b=1

(n0)−(n1)+(n2)−…+(−1)n(nn)=0

另一個有用的公式是：

(m+nk)=∑i=0k(mi)(nk−i)

可由 (1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n 進行證明得出。

4.n個相異物件分成k堆，各堆物件數分别為 r1,…,rk 的分法是：

n!r1!,…,rk!

此處的 r1,…,rk 均為非負整數，其和為n，又這裡要計較堆的次序。

一般稱之為多項式系數，因為它是 (x1+…+xk)n 的展開式中 xr11…xrkk 這一項的系數。

2.2、古典機率計算舉例

例1： 共有N個産品，其中有M個次品，從其中随機取出n個，其中剛好有m個次品的機率是多少？

答案：為 (Mm)(N−Mn−m)(NM)