動态規劃算法例題

題目：

有一個序列［3,－5, 9,0,-2,8,－3,9,5,－9,－2,8］，取其中不相鄰子序列，求可能的最大值是多少？

思路：

用動态規劃來求解。

對于最後一個元素，可以分成兩種情況，取還是不取。如果取，那麼我們在8的基礎上再加上前10個元素組成的序列求得的最大值，如果不取，那麼我們考慮前11個元素組成的序列即可。假設opt(i)表示（序列長度為i）根據題意所求的最大值。

則有，opt(12) ＝ max(opt(10)+8, opt(11))

将式子一般化可得，opt(i) ＝ max(opt(i-2)+8, opt(i-1))

下面用遞歸和疊代兩種方法用代碼實作：

import numpy as np
arr =［,－, ,,-,,－,,,－,－,］
def rec_opt(arr,i):
    if i==:
        return arr[]
    elif i==:
        return max(arr[],arr[])
    else:
        A = rec_opt(i-)+arr[i]
        B = rec_opt(i-)
        return max(A,B)
def dp_opt(arr):
    opt = np.zeros(len(arr))
    opt[] = arr[]
    opt[] = max(arr[],arr[])
    for i in range(,len(arr)):
        A = opt[i-]+arr[i]
        B = opt[i-]
        opt[i] = max(A,B)
    return opt[-]