兩個向量組之間的線性表示關系
設V是\mathbb{F}上的線性空間，\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p和\beta_1,\beta_2,...,\beta_q是V中的兩個向量組，\beta\in V
- 如果存在p個數k_i\in \mathbb{F},i=1,2,...,p，使得\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+···+\alpha_pk_p=\beta，稱向量\beta可由向量組\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p線性表示
- 如果每個\beta_j都可以由向量組\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p線性表示，j=1,2,...,q。為了友善，\beta_1,\beta_2,...,\beta_q可由\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p線性表示，用符号記為\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}
線性表示關系的傳遞性
設V是\mathbb{F}上的線性空間，\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p；\beta_1,\beta_2,...,\beta_q；\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t是V中三個向量組。若
$$ \{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}\\ \{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\} $$
則\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\}
證明：我們利用線性表示關系的矩陣表達。由存在T\in \mathbb{F}^{q\times p},S\in \mathbb{F}^{t\times q}滿足
$$ [\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\beta_1,\beta_2,...,\beta_q]T\\ [\beta_1, \beta_2,...,\beta_q]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t]S $$
得[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t](ST)。由于ST\in \mathbb{F}^{t\times p}得證
扁（列>行）的齊次線性方程組必有非零解
設A\in \mathbb{F}^{m\times n},1≤m＜n，則齊次線性方程組Ax=0必有非零解
x=\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\in \mathbb{F}^n,\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq0
這裡，m<n
證明：對m用數學歸納法
- m=1時，n≥2。根據a_{11}是否為0分兩種情況若a_{11}=0，則取\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ \vdots \\0\end{bmatrix}，易知其為一非零解若a_{11}\neq0，由n≥2，可取\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{a_{12}}{a_{11}}\\ 0\\ \vdots \\0\end{bmatrix}，易知這樣取得c為一非零解
- 假設m≤p時命題成立，下面證明m=p+1的情形，此時n≥p+2，同樣根據x_1的系數，也就是系數矩陣A的第一列\alpha_1=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{p+1,1}\end{bmatrix}是否為0分兩種情況若\alpha_1=0，則取c=\begin{bmatrix}c_1\\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}若\alpha_1\neq0，不妨設\alpha_{11}\neq0，則有與Ax=0同解的線性方程組\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12}&\cdots &a_{1n} \\ 0 &0 & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & a_{p+1,2}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{p+1, n}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{1n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=0p個方程，n-1(≥p+1>p)\begin{bmatrix}a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{2n}-\frac{a_{21}}{a_{11}}·a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{p+1,2}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{p+1,n}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{1n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=0\begin{bmatrix}x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq 0，再取x_1=c_1=-\frac{1}{a_{11}}(a_{12}c_2+···+a_{1n}c_n)，易知\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq 0是方程組Ax=0的非零解。證畢
線性表示與線性無關性
設V是\mathbb{F}上的線性空間，\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p和\beta_1, \beta_2,...,\beta_q是V中兩個向量組。若\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p線性無關，且\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}，則p≤q
證明：用反證法，假設p<qT\in \mathbb{F}^{q\times p}，使得
\begin{bmatrix}\alpha_1 &\alpha_2 & \cdots & \alpha_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_1 &\beta_2 & \cdots & \beta_q\end{bmatrix}T
因為扁的齊次方程組必有非零解，是以存在c\in \mathbb{F}^p非零，使得Tc=0。上述等式兩邊右乘c得
\begin{bmatrix}\alpha_1 &\alpha_2 & \cdots & \alpha_p\end{bmatrix}c=\begin{bmatrix}\beta_1 &\beta_2 & \cdots & \beta_q\end{bmatrix}Tc=0
因為c\in \mathbb{F}^p非零，此結論與\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p線性無關沖突，證畢
以少表多，多必相關
\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r與\beta_1, \beta_2,...,\beta_s是線性空間V中的兩個向量組。若：
- \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r可由\beta_1, \beta_2,...,\beta_s線性表示
- r>s
則\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r線性相關
證明：因為\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}，是以\exists A\in \mathbb{F}^{s\times r}，使得
\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_s\end{bmatrix}A
于是有r(\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix})≤min\{r(\begin{bmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_s\end{bmatrix}), r(A)\}≤s<r
即r(\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix})<r\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r線性相關
推論：若\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}，且\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r線性無關，則r≤s