Havel-Hakimi定理

Havel定理描述

給定一個非負整數序列{d1,d2,...dn}，若存在一個無向圖使得圖中各點的度與此序列一一對應，則稱此序列可圖化。進一步，若圖為簡單圖，則稱此序列可簡單圖化。

可圖化的判定比較簡單：d1+d2+...dn=0(mod2)。關于具體圖的構造，我們可以簡單地把奇數度的點配對，剩下的全部搞成自環。

可簡單圖化的判定，有一個Havel定理，是說: 我們把序列排成不增序，即d1>=d2>=...>=dn，則d可簡單圖化當且僅當d'=(d2-1, d3-1, ... d(d1+1)-1, d(d1+2), d(d1+3), ... dn)可簡單圖化。這個定理寫起來麻煩，實際上就是說，我們把d排序以後，找出度最大的點(設度為d1)，把它和度次大的d1個點之間連邊，然後這個點就可以不管了，一直繼續這個過程，直到建出完整的圖，或出現負度等明顯不合理的情況。

定理的簡單證明如下:

(<=)若d'可簡單圖化，我們隻需把原圖中的最大度點和d'中度最大的d1個點連邊即可，易得此圖必為簡單圖。

(=>)若d可簡單圖化，設得到的簡單圖為G。分兩種情況考慮:

(a)若G中存在邊(V1,V2), (V1,V3), ...(V1,V(d1+1))，則把這些邊除去得簡單圖G'，于是d'可簡單圖化為G'

(b)若存在點Vi,Vj使得i<j, (V1,Vi)不在G中，但(V1,Vj)在G中。這時，因為di>=dj，必存在k使得(Vi, Vk)在G中但(Vj,Vk)不在G中。這時我們可以令GG=G-{(Vi,Vk),(V1,Vj)}+{(Vk,Vj),(V1,Vi)}。GG的度序列仍為d，我們又回到了情況(a)。

（以下示範轉自 “每天進步一點點” 部落格: http://sbp810050504.blog.51cto.com/2799422/883904）

Havel-Hakimi定理很容易了解： 三步走就可以了： 比如序列：4 7 7 3 3 3 2 1

下标	1	2	3	4	5	6	7	8
值	4	7	7	3	3	3	2	1

  第一步：把序列按降序排序。

下标	1	2	3	4	5	6	7	8
值	7	7	4	3	3	3	2	1

  第二步：删除第一個數7。序列變成

下标	1	2	3	4	5	6	7
值	7	4	3	3	3	2	1

  第三步：從頭開始，數7個數，也就是下标：[1,7]把[1,7]區間裡的值都減1 由于第一個數已經删除，那麼序列變成這樣的了：

下标	1	2	3	4	5	6	7
值	6	3	2	2	2	1

然後： 重複第一步：排序。 重複第二步：删除第一個數6 重複第三步：從頭開始數6個數：也就是下标【1,6】，把區間【1，6】中的數删除。序列變成：

下标	1	2	3	4	5	6
值	2	1	1	1	-1

由于已經出現了-1，而一個點的邊數（度）不可能為負數。是以，我們就可以判定序列無法構成一個圖，是以此序列是不可圖的。 下面再舉一個例子： 已經排序：

5

4

3

3

2

2

2

1

1

1.

删除第一個數5：

4

3

3

2

2

2

1

1

1.

  把前面5個數減1：

3

2

2

1

1

2

1

1

1.

排序：

3

2

2

2

1

1

1

1

1.

删除第一個數3：  

2

2

2

1

1

1

1

1.

把前面3個數減1：

1

1

1

1

1

1

1

1.

排序：

1

1

1

1

1

1

1

1.

删除第一個數1：

1

1

1

1

1

1

1.

把前面1個數減1：

1

1

1

1

1

1.

排序：

1

1

1

1

1

1

删除第一個數1：

1

1

1

1

1

把前面1個數減1：

1

1

1

1

排序：

1

1

1

1

               依此類推：到最後隻剩下：

由此判斷該序列是可圖的。

核心代碼：

bool Havel_Hakimi(){
    for(int i=0; i<n-1; ++i){
        sort(arr+i,arr+n,greater<int>());
        if(i+arr[i] >= n) return false;
        for(int j=i+1; j<=i+arr[i] ; ++j){
            --arr[j];
            if(arr[j] < 0) return false;
        }
    }
    if(arr[n-1]!=0) return false;
    return true;
}
           

關于這個定理應用的題目：

1. poj  1659  ：

    http://poj.org/problem?id=1659

2. UVa  10720 - Graph Construction:  

   http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=1661