常用不等式及證明思路總結（一）

文章目錄

• ​​寫在前面​​
• ​​Jensen不等式​​

• ​​證明思路​​

• ​​均值不等式​​

• ​​應用​​

• ​​例題1​​

• ​​Cauchy不等式​​

• ​​證明思路​​

• ​​方法一​​
• ​​方法二​​
• ​​方法三​​

• ​​Schwartz不等式​​

• ​​證明思路​​

• ​​方法一​​
• ​​方法二​​
• ​​方法三​​

• ​​應用​​

• ​​證明不等式​​

• ​​例題1​​

• ​​求極限​​

• ​​例題2​​

• ​​W. H. Young不等式​​

• ​​積分形式​​

• ​​證明思路​​

• ​​一般形式​​

寫在前面

複習一下一些大學學習中常見的一些不等式，及其用法和證明思路。想深入了解的朋友可以看裴禮文老師所著《數學分析中的典型問題與方法》。

Jensen不等式

若為上的凸函數，則對任意，，，有

P.S. 在《數學分析(華東師大第四版)》一書中該不等式作為函數凸性定義的推廣引入，這裡使用該書中的定義。

證明思路

時顯然成立；時隻需證明對任意，，，有

作代換，令，則有，利用數學歸納法即可證得。

根據這個不等式可以立刻推出下面的均值不等式以及後面的Young不等式。

均值不等式

對任意個實數恒有

上式可簡記為幾何平均值算術平均值，等号當且僅當時成立。

應用

證明不等式。

例題1

設正值函數在上連續，證明

證明：

将作等分，計算積分和

是以有

另證：

考慮原不等式兩邊取對數，有

令，則上式等價于

(由于定積分為一常數，是以顯然可以将其從0到1進行積分，而其值保持不變)

上式進行變換可得到：

Cauchy不等式

設為任意實數，則有

等号當且僅當與成比例時成立。

證明思路

方法一

構造函數，利用判别式（常用）。

關于的二次三項式保持非負，是以判别式

方法二

配方。

方法三

二次型的性質。讨論關于的二次型，

即此二次型非負定，是以有

證畢。

根據此證明，可以推廣Cauchy不等式為

等号成立當且僅當線性相關時成立，即：存在不全為零的一組常數使得

Schwartz不等式

即Cauchy不等式的積分形式。

若在上可積，則

若在上連續，其中等号當且僅當存在常數，使得時成立(不同時為)。

證明思路

可以從積分定義出發，由Cauchy不等式得到，也可以類似由Cauchy不等式證明過程得出。

方法一

積分定義+Cauchy不等式。

将區間等分，令，應用Cauchy不等式，得到

令，取極限得證。

方法二

利用積分變量的符号任意性，配湊完全平方式。此方法較為常用。

方法三

類比Cauchy不等式的證明思路方法三，構造二次型，即可得證。此時也可以将其推廣到更加一般的情況。

應用

證明不等式

例題1

設函數在上連續可微。，證明：

等号成立當且僅當(為常數)成立。

證明：記，則由原函數存在定理（可以看一下這篇​​​文章​​​回顧），得到，由以及積分的絕對值不等式得

是以原積分

當時，不等式顯然成立，下證必要性。

若中等号成立，即

記，則式相當于下述方程

的判别式，是以此方程有唯一實根$$（當）.

由于在上連續，将$$代入，可以得到，下面對的取值進行讨論。

：, 則，是以，即，而，是以,即得到（為一常數）。

：，而連續，有，此時，而，是以。

綜上，必要性得證。

求極限

例題2

設在上連續，，有正下界。記 證明：

證明：

這裡說一下大緻思路，具體步驟參考《數學分析中的典型問題與方法》。

1. 拆項并利用Schwartz不等式得到與其兩相鄰項的關系：，由此得到單調增；
2. 證明其有界，故由單調有界定理得知其極限存在；
3. 計算極限。

W. H. Young不等式

積分形式

設單調遞增，且在上連續，，表示的反函數，則有

等号成立當且僅當。

證明思路

一般形式