常用不等式及證明思路總結（二）

文章目錄

• ​​寫在前面​​
• ​​均值不等式(推廣形式)​​

• ​​幾個定義​​

• ​次幂平均​​
• ​​權重平均​​
• ​​預備引理1​​
• ​​預備引理2​​

• ​​定理：均值不等式的推廣形式​​

• ​​均值不等式(積分形式)​​

• ​​一些定義​​
• ​​定理：均值不等式的積分形式​​

• ​​Hölder不等式​​

• ​​Hölder不等式：基本形式(離散)​​
• ​​Hölder不等式：積分形式(連續)​​

• ​​Minkowski不等式​​

• ​​基本形式(離散)​​

寫在前面

上一次寫得有點匆忙，而且Typora的數學公式重新整理不知道為什麼出現點小問題，一些行内公式莫名其妙消失了，隻剩下一個反斜杠。。。導緻我不得不轉戰VS code。

這回補充一下​​上次文章​​中沒提到的一些不等式。擴充一下Cauchy-Schwartz不等式，即Hölder不等式，還有均值不等式的一些推廣。

均值不等式(推廣形式)

幾個定義

r

r

r次幂平均

設，記的次幂平均為

其與算術平均的關系是

權重平均

，記

則和分别稱為的權重(次幂)算術平均和權重幾何平均，稱為權數。

令，則，此時

将改寫成稱為權數的标準化。

預備引理1

設不全相等，則。

證明：(拆項，應用Cauchy不等式)

預備引理2

證明：

若，則

是以有

取極限，并注意到，則有：

根據上述的引理，立即得到下面的不等式。

定理：均值不等式的推廣形式

設不全相等，則有，即

或者

隻有全相等時"“才成為”"。

證明：

根據引理1和引理2，可得

均值不等式(積分形式)

一些定義

設函數，在區間上有定義，且下面的積分均有意義。記

若，記

上面各式分别稱為的權重算術平均，權重(次幂)算術平均和權重幾何平均。其中稱為權函數。

若用，則，稱為的标準化。

定理：均值不等式的積分形式

設，且各積分均有意義，則，即

證明思路：

與前面的權重形式證明類似，拆項，注意積分形式要使用Schwartz不等式，可以得到，最後構造不等式計算極限(見引理2證明)即可證明。

Hölder不等式

霍爾德不等式，數學分析中（用于揭示空間互相關系的基本不等式）常用的不等式，容易推廣為Cauchy-Schwartz不等式。

Hölder不等式：基本形式(離散)

設，均為實數且，則有

• 當此時顯然有時，

• 當此時有時，

等号成立當且僅當成比例不全為零，使得。

證明： 這裡僅證明第一種情況。第二種可由第一種得到。

當時，顯然.

上面的"“運用了均值不等式權重推廣，”"成立當且僅當。

Hölder不等式：積分形式(連續)

設，且積分均有意義，且滿足，則有

• 時：

• 時：

若連續，則其中的等号成立當且僅當成比例，即不全為零，使得。

Minkowski不等式

基本形式(離散)

又稱為距離不等式或者三角不等式，常用于歐氏距離。

對任意實數，及，有

• 時，

• 時，