不定積分及簡單例題

文章目錄

• 一 基本概念與性質
• 二 基本公式與積分法
• • 2.1 基本公式
  • 2.2 換元積分法
  • • 2.2.1 第一類（湊微分法）
    • 2.2.2 第二類（換元積分法）
  • 2.3 分部積分法
• 三 三角有理函數不定積分
• • 3.1 有理函數積分
  • 3.2 常用的反三角求導公式
  • 3.3 萬能公式
• 四 重點題型
• • 4.1 題型一 基本概念
  • 4.2 題型二 換元積分法
  • 4.3 題型三 分部積分
  • 4.2 題型四 有理與三角函數
• 五 接力題典
• • 5.1 入門
  • 5.2 基礎
  • 5.3 提高
• 六 補充

一 基本概念與性質

1. 原函數

F’(x) = f(x)，稱F(x)為f(x)的原函數

1. 不定積分 [集合]

f(x)的所有原函數F(x)+C 稱為f(x)的不定積分。記為∫f(x)dx = F(x)+C。

1. 基本性質

二 基本公式與積分法

求完不定積分記得加一個常數C

2.1 基本公式

2.2 換元積分法

2.2.1 第一類（湊微分法）

注解：

2.2.2 第二類（換元積分法）

2.3 分部積分法

( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ u v = ∫ u ′ v d x + ∫ u v ′ d x = ∫ v d u + ∫ u d v ∫ u v ′ d x = ∫ u d v = u v − ∫ v d u \begin{aligned} &(uv)' = u'v + uv' \\ & uv = ∫ u'vdx + ∫uv'dx = ∫vdu + ∫udv\\ & ∫uv'dx = ∫udv = uv - ∫vdu \end{aligned} ​(uv)′=u′v+uv′uv=∫u′vdx+∫uv′dx=∫vdu+∫udv∫uv′dx=∫udv=uv−∫vdu​

三 三角有理函數不定積分

3.1 有理函數積分

有理函數概念：設R(x) = P(x)/Q(x)，其中P(x),Q(x)為多項式，稱R(x)為有理函數。[deg:次數]

兩種積分方法

具體的手法

1. 真分式 分子次數小于分母拆成部分和

情況1 普通情況 Δ>0 因式分解

3 x − 5 ( 2 x + 1 ) ( x − 2 ) = A 2 x + 1 + B x − 2 A + 2 B = 3 , − 2 A + B = − 5 \frac{3x-5}{(2x+1)(x-2)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x-2} \\ A+2B = 3,-2A+B = -5 \\ (2x+1)(x−2)3x−5​=2x+1A​+x−2B​A+2B=3,−2A+B=−5

情況2 分母有平方

x 2 − 3 ( x + 1 ) 2 ( 2 x − 1 ) = A x + 1 + B ( x + 1 ) 2 + C 2 x − 1 \frac{x^2 - 3}{(x+1)^2(2x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{2x-1} (x+1)2(2x−1)x2−3​=x+1A​+(x+1)2B​+2x−1C​

情況3 分母種有**（ax+b)^n**

A 1 a x + b + A 2 ( a x + b ) 2 + . . . + A n ( a x + b ) n \frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+...+\frac{A_n} {(ax+b)^n} ax+bA1​​+(ax+b)2A2​​+...+(ax+b)nAn​​

情況4 Δ<0且分子為常數 平方和

∫ d x x 2 + x + 1 = ∫ d ( x + 1 / 2 ) ( ( 3 ) 2 ) 2 + ( x + 1 / 2 ) 2 = ( 3 ) 2 a r c t a n [ ( 2 ( 3 ) ) ( x + 1 / 2 ) ] + C ∫\frac{dx}{x^2+x+1} = ∫\frac{d(x+1/2)}{(\frac{\sqrt(3)}{2})^2 + (x+1/2)^2} = \frac{\sqrt(3)}{2}arctan[(\frac{2}{\sqrt(3)})(x+1/2)]+C \\ ∫x2+x+1dx​=∫(2(

​3)​)2+(x+1/2)2d(x+1/2)​=2(

​3)​arctan[((

​3)2​)(x+1/2)]+C

情況5 Δ<0且分子帶有x,分母可湊平方公式+a^2

分 母 求 導 為 2 x + 1 , 因 此 我 們 往 它 那 邊 湊 等 式 ∫ x + 2 x 2 + x + 1 d x = 1 2 ∫ ( 2 x + 1 ) + 3 x 2 + x + 1 d x = 1 2 ∫ d ( x 2 + x + 1 ) x 2 + x + 1 + 3 2 ∫ d ( x + 1 / 2 ) ( ( 3 ) 2 ) 2 + ( x + ( 1 / 2 ) ) 2 分母求導為2x+1,是以我們往它那邊湊等式 \\ ∫\frac{x+2}{x^2+x+1}dx = \frac{1}{2}∫\frac{(2x+1)+3}{x^2+x+1}dx = \frac{1}{2}∫\frac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1} + \frac{3}{2}∫\frac{d(x+1/2)}{(\frac{\sqrt(3)}{2})^2 + (x+(1/2))^2} 分母求導為2x+1,是以我們往它那邊湊等式∫x2+x+1x+2​dx=21​∫x2+x+1(2x+1)+3​dx=21​∫x2+x+1d(x2+x+1)​+23​∫(2(

​3)​)2+(x+(1/2))2d(x+1/2)​

情況6 分母x帶有平方項

∫ a x ( 1 + x 2 ) = ∫ A x + B x + C 1 + x 2 ∫\frac{a}{x(1+x^2)} = ∫\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{1+x^2} ∫x(1+x2)a​=∫xA​+1+x2Bx+C​

1. 假分式 分子次數大于分母拆為多項式與真分式子之和

x 3 + 3 x 2 ( 1 + x ) = x 3 + x 2 − x 2 + 3 x 2 ( 1 + x ) = 1 + 3 − x x 2 ( 1 + x ) \frac{x^3+3}{x^2(1+x)} = \frac{x^3+x^2-x^2+3}{x^2(1+x)} = 1+\frac{3-x}{x^2(1+x)} x2(1+x)x3+3​=x2(1+x)x3+x2−x2+3​=1+x2(1+x)3−x​

3.2 常用的反三角求導公式

• arctan x

( 1 a a r c t a n ( x + b a ) ) ′ = ∫ d ( x + b ) a 2 + ( x + b ) 2 (\frac{1}{a}arctan(\frac{x+b}{a}))' = ∫\frac{d(x+b)}{a^2+(x+b)^2} (a1​arctan(ax+b​))′=∫a2+(x+b)2d(x+b)​

• arcsin x

a r c s i n ( x + b a ) = ∫ d ( x + b ) a 2 − ( x + b ) 2 ( a > 0 ) arcsin(\frac{x+b}{a}) = ∫\frac{d(x+b)}{\sqrt{a^2-(x+b)^2}} (a>0) arcsin(ax+b​)=∫a2−(x+b)2

​d(x+b)​(a>0)

• arccos x

a r c c o s ( x ) = ∫ − 1 1 − x 2 arccos(x) =∫-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} arccos(x)=∫−1−x2

​1​

3.3 萬能公式

四 重點題型

4.1 題型一 基本概念

4.2 題型二 換元積分法

1. 上下除以x平方湊平方公式 + 常數平方 ==> 反三角公式

4.3 題型三 分部積分

4.2 題型四 有理與三角函數

1. 出現 1+cos x可以考慮化為2cos^2 (x/2)，出現sinx，cosx，可以考慮同時除以cosx化為secx。(tanx)’ = sec^x

五 接力題典

5.1 入門

1. 

5.2 基礎

1. 

5.3 提高

六 補充