修複量子理論核心緻命缺陷的秘密可能隐藏在20世紀80年代讓·埃卡勒（Jean Écalle）的三本晦澀的著作中。但實體學家們忽略了其中可能具有變革性的思想，因為書中充滿了原創數學對象和奇特的用詞。諸如“超級級數”、“可分析胚胎”、“異類導數”和“加速求和”這樣古怪的術語比比皆是。而在這些數學中，可能包含了克服實體學上的一個困境所需的東西。
時至今日，實體學家已經學會對亞原子世界做出令人歎為觀止的準确預測。但是，這些預測雖然精确，但隻是近似值。如果尋求絕對精确度，教科書中的量子理論就會崩潰，産生無窮大的答案——許多實體學家認為這些答案是數學垃圾。
但現在，通過仔細研究那三本教材，實體學家發現了一種名為回升（resurgence）的數學理論。這一理論讓實體學家意識到這些無窮大答案包含着無數寶藏，能讓他們從任何無窮大中挖掘出任何量子問題的有限且無瑕疵的答案。
回升理論研究社群雖然規模較小，但多年來取得了穩步的進展。這個技術的原型版本在量子力學中已經獲得了精确結果，而量子力學本身僅限于描述粒子的行為。更為複雜數學方法的發展使得一些實體學家能夠深入探讨量子場論，甚至近期的弦論。然而，這隻是回升理論實踐者所懷有的宏大夢想的開始。他們的目标不僅僅是在實體理論中尋找一種全新的處理無窮大問題的方法，還希望這種方法能在理論和實踐中更好地比對我們的有限世界。
發散的可能性
量子場論迫使實體學家直面無窮大問題。這些量子場是難以想象的複雜體系——在看似空無一物的空間中，瞬态波動和相幹波動不斷翻滾。從原則上講，這些短暫波動可以在任何時刻、任何數量和任何能量下出現，這給實體學家帶來了挑戰，他們需要解釋無盡的亞原子互相作用，以便了解甚至簡單實驗的精确結果。
在20世紀40年代，朝永振一郎（Shin'ichirō Tomonaga）、朱利安·施溫格（Julian Schwinger）和理查德·費曼（Richard Feynman）都研究出了從量子電磁場的無窮複雜性中得出有限答案的等效方法。如今最為人所知的是費曼的方法，計算采用無窮多的“費曼圖”來表示越來越複雜的量子可能性。首先從最簡單的事件圖開始（例如，電子穿過空間），并計算某個可測量的性質，比如電子在磁場中的擺動程度。接下來，将結果添加到更複雜的情景中，例如電子在飛行過程中短暫地釋放然後再吸收一個光子。然後添加涉及兩個瞬态波動的亞原子過程，然後是三個，依此類推，這種廣泛應用的數學技術被稱為微擾理論（perturbation theory）。
這種計算會産生一個無窮“幂級數”：
對于電磁場，x 的值是自然界的一個關鍵常數（即α），接近 1/137。這是一個相對較小的數字，适合表示力的相對弱度，将這個微小的數字提高到更大的幂使得各項迅速縮小。
費曼圖為實體學家提供了每一項的系數——即a的值——這是計算中的難點。以電子的“g因子”為例，這是一個與粒子在磁場中擺動方式有關的數字。最簡單的費曼圖給出了 a_0，它恰好等于2。但是，如果考慮到稍微複雜一些的費曼圖，比如第一個瞬态波動出現的情況，就需要計算 a_1 這一項，這也是無窮大開始出現的地方。朝永振一郎、施溫格和費曼設計了一種使這一項有限的方法。他們計算得到的電子g因子約為2.002，這與當時的實驗測量結果相符，證明了量子場論是有意義的，并使他們三人獲得了1965年的諾貝爾實體學獎。
他們的方法也開啟了一個新時代，在這個時代裡，實體學家必須攀登越來越高的費曼圖山，以便計算更多的a值。這些山很陡峭，增長得非常快。2017年，一位實體學家完成了長達20年的作品，精确計算了電子的g因子，這需要從891個費曼圖中計算複雜的方程。結果僅揭示了該級數的第五項。
費曼圖在現代實體學中仍然具有舉足輕重的地位。一組類似但更複雜的計算用于μ子（電子的表親），在2021年成為了頭條新聞。一個實驗顯示，理論預測的結果與實際測量結果在第八位小數出現了差異。這個微小的異常現象代表着最好的希望，揭示了那些在費曼的工作基礎上建立起來的巨大理論體系之外的未知領域。
然而，這一系列實驗勝利掩蓋了一個事實：從根本上講，這種處理量子場論的方法實際上根本行不通。
費曼圖的衰落
弗裡曼·戴森（Freeman Dyson），另一位實體學先驅，是第一位意識到微擾量子理論可能注定失敗的實體學家。那時是1952年，當其他人慶祝費曼幂級數中的前幾項可以變得又小又有限時，戴森開始擔憂這個級數的其他部分。
實體學家天真地希望費曼圖描述的電磁場處理方式會變成數學家所說的“收斂”。在收斂級數中，每個後續項都比前一個項小得多，項數越多，級數和越趨近于一個有限的數字。相反，級數也可能是“發散”的。發散的級數和是沒有意義的。
費曼求和的前幾項确實在縮小，這是因為α值很小，最初戴森得出的結論是微擾量子電磁學應該整體上是收斂的。
但後來，戴森将數學和實體推理相結合，對這個級數做出了更複雜的猜測。從數學的角度來看，戴森知道當x變得更小時，收斂幂級數收斂得更快，因為更高的項（涉及x的幂）收縮得更快。
但當他讓x通過零時，一切都崩潰了。
原因與真空有關，真空不斷産生瞬态的正負電荷波動對。這些波動通常互相吸引并消失。但如果α變為負數，這些波動會互相推開并變成真實的粒子。從無中不斷湧現出的粒子會觸發宇宙崩潰，正如戴森所說的“真空的爆炸性瓦解”。
從實體角度看，任何負α都會帶來問題。然而，在數學上，x 的符号并不重要：如果一個級數在較小的負x值時發散，那麼在較小的正x值時也應該發散。是以，對于較小的正α（即1/137），這個級數也應該發散。戴森的災難性實體情景意味着費曼處理量子電磁學的著名方法最終預測出無窮大。
- 一個無法駕馭的無窮大。實體學家通常通過無窮求和來研究量子場，比如電磁場。這些求和中的前幾項越來越小，為我們提供了一個近似答案。然而，後面的項會激增，導緻求和看似失去了意義。
如今，實體學家預計量子電動力學（即電磁學的量子場論）可能在第137項附近開始發散。也就是說，
将其納入求和會使預測的精度降低，而不是提高。
問題在于，更高的項會導緻費曼圖數量呈階乘式的爆炸性增長。這意味着計算 a_9 大約需要 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1（約 362,880）個費曼圖，而計算 a_10 則需要大約 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1（3,628,800）個費曼圖。這種對 a 項貢獻的費曼圖數量的階乘式增長速度最終會超越 α 幂次的縮小速度，進而使求和無法遏制地朝着無窮大增長。
對大多數實體學家來說，即使是最簡單的量子場論的不可避免發散仍然是一個抽象問題。在計算（更不用說測試）這個級數的第10項似乎都像科幻小說一樣時，為什麼要擔心遠在100項之外潛伏的危險？
但對于少數實體學家來說，現代實體學中最為人們所了解的理論在技術上對任何問題給出無窮的答案仍然令人深感不安。即使原則上擁有無限的計算資源，我們也不知道如何模拟世界。
惡魔一樣的發散
與此同時，數學家在戴森開始擔憂量子理論之前的一個多世紀裡，一直在思考發散級數。“發散級數是惡魔的發明，用它們來證明任何東西都是可恥的，”阿貝爾在1828年說。
阿貝爾在次年去世，享年26歲。但在世紀末，亨利·龐加萊朝着了解發散級數如此棘手的原因邁出了重要一步：它們并非惡魔般的邪惡，隻是不完整。
龐加萊在探讨一個古老的問題：三個天體如何互相圍繞運作？他試圖用微擾理論來解決這個問題，正如費曼和戴森在一個世紀後遇到量子場時所做的那樣。龐加萊試圖用一個無窮長的簡單機關之和來建構描述三個天體軌迹的複雜函數。人們希望這個級數收斂到一個有限的答案。
起初，他認為自己成功了。1890年，瑞典和挪威國王奧斯卡二世為龐加萊在這個著名問題上的進展頒發了獎項。但就在他的著作即将出版之前，他要求停止印刷。這個級數是發散的。進一步的分析（為混沌理論奠定基礎）揭示出它比對的不是一個而是兩個不同的函數。如今，實體學家知道三個天體可以以無數種非常不同的方式互相作用，而沒有簡單的方程可以包含所有可能性。
聖路易斯華盛頓大學的數學實體學家卡爾·本德，将龐加萊遇到的那種發散級數比喻為函數的模糊視圖。模糊包含許多可能的函數。當你将一個複雜的函數展開成這樣一個“漸近”級數時，“你已經丢失了資訊，”本德爾說。
自龐加萊時代以來，數學家和實體學家已經意識到還有其他類型的項，這些項是“超越所有階”的，它們比最小的幂項還要小。這些“指數級小”的項可以采用 e^(−1/x) 的形式，例如，它們提供了丢失的資訊。如果将它們包含在級數中，并采用合适的“重新求和”方法使級數變為有限，你就可以減輕部分（甚至可能是全部）的模糊程度。
實體學家稱這些額外的項為“非微擾項”，因為它們超出了微擾理論的範圍。你可以花上萬億年來畫費曼圖并計算a項，但你永遠無法了解到這些非微擾項中所包含的某些實體事件。盡管這些微小項描述的影響可能很少見或微妙，但它們在現實世界中可能産生巨大的差異。
以量子力學的薛定谔方程為例，它描述了粒子的波動行為。這是一個複雜的方程，實體學家通常使用微擾理論對其進行近似。盡管所得到的無窮級數非常精确地預測了許多實驗，但它完全忽略了一種極不可能（但不是不可能）的事件，即隧穿效應（tunneling）。在這種事件中，粒子穿越障礙進行了瞬間傳輸。
隧穿效應是量子實體中許多非微擾現象之一，但非微擾效應無處不在：雪花的分支狀生長、液體通過帶孔管道的流動、太陽系内行星的軌道、圍繞圓形島嶼間的波浪漣漪，以及其他無數實體現象都是非微擾的。它們确實存在，而且至關重要，單純依靠微擾理論是不夠的。
由于非微擾現象具有普遍性，大量的數學家和實體學家緻力于研究如何計算非微擾項這一問題。在20世紀末，一批研究人員開始發現一些引人入勝的線索，這些線索表明微擾級數似乎包含了比預期更多的資訊。
在這些研究人員中，1980年代，法國薩克雷核研究中心的一個小組發展了一種将微擾幂項與非微擾指數項相結合的方法，以獲得量子力學隧穿效應的精确結果。他們的技術在依賴一個稱為波雷爾重求和（Borel resummation）的關鍵數學技術方面取得了成功。波雷爾重求和是當時從發散級數中得到有限數字的最強大工具，但它也有其局限性。它偶爾會給出錯誤，這讓希望一個級數能正确預測某個實驗結果的實體學家感到沮喪。
當實體學家發現一個無法用波雷爾求和的級數時，他們基本上就放棄了。他們不知道的是，一個離薩克雷小組隻有幾英裡之遙的古怪數學家已經開始了對漸近級數前所未有的探索。
費曼圖的反擊
在20世紀70年代初，埃卡勒的好奇心驅使他步入了龐加萊的足迹。他開始分析在天體研究中出現的更抽象的數學對象。漸近級數逐漸出現，而他在高中時曾推測過的更通用導數也出現了。埃卡勒最終開發了他所描述的“一種精确、輪廓分明的結構——異類微積分（alien calculus），從發散中自發産生。”
埃卡勒的異類微積分抽象且多面。但對于實體學家來說，它傳遞的資訊非常清晰。微擾級數，盡管發散，卻隐藏了一整套非微擾資訊。級數包含了所有更新所需的内容，以消除模糊并恢複與唯一對應函數的清晰圖像。
盡管具有深遠影響，但一開始，埃卡勒的工作并未受到重視。它對于實體學家來說太過晦澀和抽象，而對于數學家來說，它又不夠嚴謹。
埃卡勒于1976年首次在三篇論文中勾勒出回升理論的核心概念，并在1981年至1985年間撰寫了他的三本教科書，其中詳細介紹了回歸理論的異類微積分。這些教材從未在數學期刊上發表。
如果實體學家當時就開始研究他的書籍，他們的經曆可能如同與擁有高度智慧的外星文明接觸一樣。他們将遇到遠超他們習慣的數學工具。
當埃卡勒被《Quanta Magazine》聯系并就回升理論的曆史提問時，他花了六天時間撰寫了一篇關于該主題的24頁專論，這對于渴望了解有關回升理論及其發展的更多資訊的研究人員來說是一件難得的瑰寶。
下面是這種方法的一個非常粗略的簡化版：
首先，寫出典型的微擾級數。一開始項會縮小，但最終随着a值變得非常大，它們會迅速增長。繪制a值的增長情況，你會看到它們向上增長的速度幾乎與階乘增長一樣。研究a值描繪的線和階乘增長曲線之間的差異，以了解第一個非微擾項。
不過，這隻是開始。應用波雷爾重求和的第一步。這消除了階乘增長，使你能更詳細地看到微擾項的行為。經過修改的a的結果圖應呈指數增長。但仔細研究它，你會發現微擾資料有些偏離。這個偏差來自于一個全新的漸近級數，你需要将其乘以第一個非微擾項。
這個過程繼續。從微擾資料中去除指數增長，如果你觀察得夠仔細，你可能會發現進一步的偏差，這些偏差揭示了第二個非微擾項。再仔細看，你會發現這個非微擾項還伴随着另一個漸近級數。
最終，可能會有任意數量的非微擾項，每個項都附帶一個漸近級數。找到盡可能多的這類項，你手中就會有一個稱為跨級數的對象。跨級數從熟悉的微擾級數開始，然後是一個非微擾項（帶有一個級數），接着是另一個非微擾項，依此類推。
埃卡勒的跨級數克服了之前困擾實體學家的波雷爾重求和的困難。如果你知道描述某個測量（例如電子的g因子）的跨級數，波雷爾重求和将給你一個唯一、正确的答案。此外，回升理論斷言，跨級數開頭熟悉的微擾級數中的微妙偏差會告訴你接下來可能無限的級數所需了解的一切。
這個數學圖景對實體學家有兩個引人注目的影響。首先，它暗示量子場和其他複雜系統可能存在精确結果——而不僅僅是近似。如果是這樣，它将使量子理論成為有限且合理的。這将是一個重大的進步。
其次，這暗示着可能無限多的非微擾部分完全可以從微擾級數中推導出來，而微擾級數的發散困擾了戴森。幾十年來看似獨立的實體領域實際上是密切相關的。
回升理論進入實體學
埃卡勒的發現（通過微擾理論可以擷取非微擾知識），已經逐漸滲透到數學實體世界。在這裡，實體學家已經利用它在21世紀最受密切研究的兩個理論中找到了隐藏的新部分：強力理論和弦理論。強力将誇克聚合在一起形成質子和其他粒子
北卡羅來納州立大學的實體學家Mithat Ünsal，緻力于研究強力。2008年，他在一篇關于發散級數的文章中閱讀了關于回升理論的内容後，尋求了解埃卡勒的工作。後來，他在一次會議上遇到了康涅狄格大學的Gerald Dunne，聊天時，他們發現同一篇文章激發了他們兩人開始自學回升理論。他們決定聯合起來。
這兩位實體學家的動力來自于他們試圖了解比戴森和費曼面臨的問題更複雜的事物。這些實體學家在電磁場方面很幸運。電磁場非常微弱，α隻有1/137。另一個基本力量，弱互相作用，同樣容易處理。對于這兩種力量，微擾理論之是以有效，是因為它們非常微弱，幾乎可以說它們根本不存在。
但是，當實體學家嘗試解決強力時，這種運氣就結束了。強力比電磁力大約強100倍，其α類似物約為1，不容忽視。平方或立方1根本不會産生任何縮小效果，是以微擾級數從最早的項開始就直接走向無窮大。實體學家花了幾十年時間使用超級計算機開發一種處理強力的替代方法，并在此過程中取得了驚人的成果。但是，數值計算并不能很好地解釋強力如何發揮作用。
Ünsal和Dunne認識到，具有馴服發散級數能力的回升理論可能會讓他們朝着解強力的夢想邁出一步。特别是，他們着手解決困擾強力理論40年的一個謎團。
1979年，實體學家傑拉德·霍夫特和帕裡西推斷出強力計算中存在微小而奇異的項。他們稱之為重整子（renormalons），沒有人知道如何處理它們。重整子似乎與具體的場行為沒有任何對應關系。但是它們确實在那裡，不管怎樣還是破壞了計算。
Ünsal和Dunne用回升來解決重整子問題。盡管他們研究的是強力的2D類似物，但這大約花了他們一年時間。但是在2012年，他們證明了至少在他們的簡化模型中，霍夫特和帕裡西的重整子與實體學家了解的行為相比對。
然而，去年研究人員利用回升增加了進一步的複雜性。日内瓦大學的數學實體學家馬裡諾和他的合作者進行了更嚴格的計算（盡管也是在簡化的理論中），并發現了新的重整子。馬裡諾現在懷疑重整子隻是非微擾冰山的一角。如果他是對的，量子世界有一天可能會比現在更難以想象。
馬裡諾還在發現弦理論中一種新的非微擾效應方面扮演了關鍵角色，這種推測性認為宇宙不是由類似點的粒子組成，而是由擴充物體（如弦）組成。這種弦的振動将決定我們觀察到的粒子的性質。
弦理論與量子理論一樣，通常被視為一種微擾級數，用類似費曼的圖表示弦以越來越複雜的方式合并和分裂。然而，與量子理論家不同的是，弦理論家甚至對理論中的非微擾效應也缺乏最基本的指導。他們認為，就像量子理論包含隧穿和重整子一樣，弦理論的完全非微擾公式也包含未知的實體現象。
弦理論中一個引人注目的非微擾現象執行個體是在20世紀90年代發現的類似薄片的物體，稱為D-膜（D-branes）。D-膜後來将推動弦理論的一些最大發展。
2010年，馬裡諾注意到在D-膜項的陰影中隐藏着一系列負相對物。目前還不清楚這些伴随項可能描述什麼實體現象。
六年後，哈佛大學的卡朗·瓦法及其合作者在探索一個推廣的弦理論時發現了線索，該弦理論中某些量可以為負數。他們發現了具有負張力的D-膜 —— 這是具有負品質的膜版本。這些奇異的東西扭曲了它們周圍現實的結構，創造出多個時間次元并違反了機率總和必須為100%的基本原則。但該小組沒有發現這些物體應該從它們的怪異世界逃脫，進入标準弦論。
現在，裡斯本大學理論實體學家裡卡多·斯基亞帕（Ricardo Schiappa）認為他找到了證據。最近幾個月，斯基亞帕和他的合作者使用回升法仔細審查了幾個簡單的弦論模型。他們發現，瓦法的負張力D-膜與馬裡諾在2010年發現的指數級小項完全比對。
其他理論家還不确定如何看待這個新發現。瓦法指出，斯基亞帕的團隊在簡化的弦模型中進行了他們的計算，該結果不能保證在更複雜的表述中成立。但是，如果它确實成立，而且弦論确實描述了我們的宇宙，那麼它必須包含另一種阻止負D-膜形成的方法。
其他異常現象
盡管實體學家在發現重整化子和負膜方面取得了進展，但他們認為，要将回升理論封為微擾理論的正式繼任者，還有兩個巨大的障礙。
首先，并非所有理論都被證明具有回升結構。對于量子場理論，這個問題尤為嚴重，實體學家一直在逐案檢查。這是一個繁瑣的過程。
這就是為什麼Serone在過去三年裡緻力于在某些量子場理論中對回升法進行壓力測試。2021年，他和他的合作者研究了一個與強力共享關鍵特征的理論，但仍然足夠簡單，可以讓他們計算執行回升法所需的許多a。他們使用回升法和另外兩種方法計算了這樣一個宇宙中空間的能量，證明了這三種方法是一緻的。有關回升法應該适用于量子場理論的定性論證，但這是首次具體計算之一，進一步激發了樂觀情緒。
更嚴重的問題是，要發現非微擾部分，你需要知道大量的微擾項。例如，在他最近的研究中，Serone選擇了量子場理論，讓他生成數千個項。但對于強力，目前計算僅8或9個項是不可能的。即使是該方法的先驅們也不掩飾他們期望看到它産生一個實數（如質子品質）的時候（這是一個價值百萬美元獎金的數學壯舉）。
新的希望
然而，艱巨的困難并沒有扼殺從回歸法中得到真實預測的夢想。首先，這種技術已經在量子力學中産生了其他無法獲得的結果。早在20世紀80年代，法國的數學實體學家使用原始的回升法對粒子隧穿進行了精确預測，而這是實體學家之前隻能近似的問題。另一組人使用标準方法檢查了這些結果。他們隻能達到六位小數點，這是一項耗時數月且需要相當計算能力的艱巨工作。
這些戲劇性的例子激勵了Dunne努力開發高效的回升法實踐方法，希望有朝一日将其用于量子場理論。在過去的五年裡，他與俄亥俄州立大學的數學家Ovidiu Costin一起找到了可以在微擾理論中發揮更大作用的技術。在某些情況下（盡管距離現實世界的理論還很遠），他們發現隻需要10到15個項就足夠了。
對于埃卡勒來說，回升法是過去的一個篇章。自他的原始三部曲以來，已經過去了近40年。過去20年裡，他一直在研究一種更具代數性質的分支。如果他決定出版一個續集三部曲，在一個地方收集他所有的發現，誰知道實體學家會在其中發現什麼寶藏。