算法探讨——再議經典算法問題：求最大子序列和、絕對值最大子序列和以及其區間...

算法探讨——再議經典算法問題：求最大子序列和、絕對值最大子序列和以及其區間

給定任一數字序列，如{-5,4,-20,16,-2,-3}，求出其最大子序列和，絕對值最大子序列和以及對應的區間，在這個例子中，人肉計算可知最大子序列和為16，區間為[3,3)（數組下标從0開始），而絕對值最大子序列和為-21，區間為[0,2]，那麼算法如何描述及實作呢？

在經典的書籍《資料結構與算法分析 C語言描述第2版》中，作者向我們介紹了求最大子序列和的三種算法，時間複雜度從O(N3)下降到O(N)，求最大子序列和絕對值和以及其區間是我對這一問題的擴充。

一、求最大子序列和以及其區間

求最大子序列和的算法相對簡單，并且可以使用動态規劃思想将其優化至O(N)，問題的關鍵：前面已輸入的元素的計算結果并不依賴于後面的輸入。

O(N2)算法：N次周遊數組，對其中每一個元素，繼續周遊後續每個元素，并求和，如發現比目前和大，替換目前和。

C/C++實作：

1 int maxsub(const int a[],int n)
 2 {
 3     int sum, max, i, j, begin, end;
 4     begin = end = max = 0;
 5     for(i = 0;i < n;i++)
 6     {
 7         sum = 0;
 8         for(j = i;j<n;j++)
 9         {
10             sum += a[j];
11             printf("the second level loop %d loop sum = %d\n",j,sum);
12             printf("the second level loop %d loop max = %d\n",j,max);
13             if(sum > max)
14             {
15                 max = sum;
16                 begin = i;
17                 end = j;
18             }
19         }
20         printf("the %d loop max = %d\n",i+1,max);
21     }
22     printf("--final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
23     return max;
24 }      

循環結束後，begin與end的值即對應的區間。

O(N)算法：動态規劃思想，也稱on-line algorithm，即，對于每一個輸入，不依賴于後面輸入，對每一個輸入，立即計算其結果，并儲存，然後與後續輸入進行比較，若和變大，産生更新。若和總是變小，丢棄之前的輸入。

C/C++實作：

int maxsublinear(const int a[], int n)
{
    int i;
    int curSum = 0; /* 目前序列和 */
    int maxSum = 0; /* 最大序列和 */
    int begin = end = 0;

    /* 開始循環求子序列和 */
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        curSum = curSum + a[i];

        /* 與最大子序列和比較，更新最大子序列和 */
        if (curSum > maxSum)
        {
            maxSum = curSum;
            end = i;
        }

        /* 動态規劃部分，舍棄目前和為負的子序列 */
        if (curSum < 0)
        {
            curSum = 0;
            begin = i + 1 >= n ? i : i + 1;
        }
    }
    return maxSum;
}      

二、求絕對值最大子序列和以及對應的區間

這個問題是對第一個問題的擴充，但比第一個問題複雜的多，O(N2)算法基本相同，也容易了解。

O(N2) C/C++實作：

1 int maxabssub(const int a[],int n)
 2 {
 3     int sum, max, i, j, begin, end;
 4     begin = end = max = 0;
 5     for(i = 0;i < n;i++)
 6     {
 7         sum = 0;
 8         for(j = i;j<n;j++)
 9         {
10             sum += a[j];
11             printf("the second level loop %d loop sum = %d\n",j,sum);
12             printf("the second level loop %d loop max = %d\n",j,max);
13             if(abs(sum) > max)
14             {
15                 max = abs(sum);
16                 begin = i;
17                 end = j;
18             }
19         }
20         printf("the %d loop max = %d\n",i+1,max);
21     }
22     printf("--final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
23     return max;
24 }      

O(N)算法，在竹風撫荷塘同學的幫助下，順利求解。思路其實很簡單，絕對值最大的子序列和，要麼是和最大，要麼是和最小，類似問題一中O(N)算法，同時求每一個輸入可能得到的最大和或最小和，再比較即可。下面是C/C++代碼實作：

1 int maxAbsSubLinear(int a[], int n)
 2 {
 3     int posiSum, negaSum, curSum, max, j, begin, end, posiBegin, posiEnd, negaBegin, negaEnd, flag;
 4     posiSum = negaSum = curSum = max = j = begin = end = posiBegin = posiEnd = negaBegin = negaEnd = flag = 0;
 5 
 6     for(j = 0;j < n;j++)
 7     {
 8         if(posiSum + a[j] > a[j])
 9         {
10             posiSum += a[j];
11         }
12         else
13         {
14             posiSum = a[j];
15             posiBegin = j;
16         }
17         if(negaSum + a[j] < a[j])
18         {
19             negaSum += a[j];
20         }
21         else
22         {
23             negaSum = a[j];
24             negaBegin = j;
25         }
26 
27         if( abs(posiSum) > abs(negaSum) )
28         {
29             curSum = abs(posiSum);
30             posiEnd = j;
31             flag = 1;
32         }
33         else
34         {
35             curSum =  abs(negaSum);
36             negaEnd = j;
37             flag = 0;
38         }
39 
40         if(curSum > max)
41         {
42             max = curSum;
43             if(flag)
44             {
45                 begin = posiBegin;
46                 end = posiEnd;
47             }
48             else
49             {
50                 begin = negaBegin;
51                 end = negaEnd;
52             }
53         }
54 
55         printf("IN ABS LINEAR -- LOOP %d, posiSum = %d, negaSum = %d, curSum = %d, max=%d, begin = %d, end = %d\n", j+1, posiSum, negaSum, curSum, max, begin, end);
56     }
57 
58     printf("--LINEAR final-- Begin = %d, End = %d\n",begin,end);
59     return max;
60 }      

再次感謝竹風撫荷塘同學。

轉載于:https://www.cnblogs.com/ccdev/archive/2012/09/09/2677328.html