平穩時間序列模組化方法

一般用Box-Jenkins模組化方法，但Pandit-Wu模組化方法更簡單。

一. 樣本序列中均值處理方法

1. 用樣本的均值作為過程均值的估計，模組化前先用樣本資料減去這個均值，然後對所得的序列進行模組化
2. 把樣本均值作為模型的一個未知參數進行估計

二. 模型識别

三類平穩序列的自相關函數和偏自相關函數具有如下統計特性,用作判斷序列模型的依據

模型	AR(p)	MA(q)	ARMA(p,q)
自相關函數	拖尾	截尾	拖尾
偏自相關函數	截尾	拖尾	拖尾

1) 如果序列的自相關函數在q步截尾( k>q時,\(\rho_k=0\) ),而偏自相關函數被負指數函數控制收斂到零,則可判斷序列為MA(q)序列.

可以證明, 當 k>n時, \(\phi_k\) 漸近于正态分布,即 \[ \hat{\rho}_k \sim N[0, \frac{1}{N}(1+2\sum_{i=1}^{m} \rho_i^2)]\] 對于每一個k>0,分别考察 \(\hat { \rho  } _{ k+1 },\hat { \rho  } _{ k+2 },\hat { \rho  } _{ k+3 },\cdots \)  中滿足 \[ |\hat{\rho}_{k+i}| \le \frac{1}{N}(1+2\sum_{j=1}^m \hat{\rho}_j^2)]^{1/2}, i=1,2,....,M\] (M一般取 N/10或 \(\sqrt{N})\) 的比例是否達到了68.3%, 若k=1,2,...,m-1,都未達到,而在k=m達到了,我們就說\(\rho_k\)在m步截尾. 

2) 如果序列的偏自相關函數在p步截尾,并且自相關函數被負指數函數控制收斂到零,則可判斷序列為AR(p)序列. 可以證明,當k>n時, \(\phi_{kk}\)的分布漸進于 N(0,1/N), \[P|\hat{\phi}_{kk}|>1/\sqrt{N})=31.6\%,P|\hat{\phi}_{kk}|>2/\sqrt{N})=4.5\%\]

3) 如果序列的自相關函數和偏自相關函數均不截尾,但都被負指數函數控制收斂到零,則序列很可能是ARMA(p,q)序列

三. 模型定階方法 1. 殘差方差圖定階方法

殘差的方差\(\hat{\sigma}^2={殘差平方和}/{(實際觀測值個數-模型參數個數)}\), 故從殘差方差圖中可以估計出模型階數(參數個數)

AR(p)模型:  \(\hat{\sigma}^2\) =殘差平方和/[(N-p)-(p+1)] = 殘差平方和/(N-2p+1) MA(q)模型:  \(\hat{\sigma}^2\) =殘差平方和/(n-q-1) ARMA(p,q)模型:  \(\hat{\sigma}^2\) =殘差平方和/(N-2p-q-1)

判斷原則: 殘差方差小, 相應的模型階數合理

2. F檢驗定階法 ARMA(p,q)模型的殘差平方和 Q0, ARMA(p-1,q-1)模型的殘差平方和Q1. 用F檢驗來确定兩個模型是否有顯著性差異. H0:   兩個模型沒有顯著性差異 統計量\[F=\frac{\frac{Q_1-Q_0}{2}}{\frac{Q_0}{(N-p)-(q+p)}} \sim F(2,N-2p-q)\]   3. 準則函數定階法 即确定一個準則函數,模組化時按照該準則函數的取值大小确定模型的優劣,使準則函數達到極小值的就是最佳模型階數.

• AIC
• BIC

四. 模型參數估計

• 矩估計法 - 相對簡單,計算量小,但精度低,隻宜作為初估計
• 最小二乘估計法 - 精度高,計算量大,計算複雜
• 極大似然估計法

五. 模型的适應性檢驗

主要是殘差序列的獨立性檢驗

1. 相關函數法 樣本數充分大時,\(\hat{\rho}_k \sim N(0,1/N)\), 如果 \(|\hat{\rho}_k| \le 1.96\sqrt{N}\),就可以在5%的顯著水準下接受\(\rho_k=0\)

2. \(\chi^2\)檢驗法 Box-Pierce統計量 \[Q=N\sum_{k=1}^{M}\hat{\rho}_k^2,M=N/10 或 \sqrt{N}\]  如果\(Q \le \chi^2_{1-\alpha}(M-p-q)\)就認為模型是合适的. Ljung-Box-Pierce統計量 \[Q=N(N+2) \sum_{k=1}^{M}\hat{\rho}_k^2/(N-k)\]  

六. Pandit-Wu模組化方法

從一階開始,逐漸增加模型階數,拟合AR(2n,2n-1)模型,即二階地增加模型階數,直到F檢驗表明增加模型階數而殘差平方和不再顯著減小為止,也即模型沒有差異性.

七. 含有趨勢模型

時間序列x(t)可能有趨勢因素，有季節因素，有異常因素，有異方差情形。如有趨勢因素，要得到平穩的序列有如下方法   1. Box-Jenkins模組化方法是差分，再用ADF檢驗，不行就再差分，再用ADF檢驗，直到通過ADF檢驗。 2. Pandit-Wu模組化方法樣本減去平均值，    如有季節因素，就用HEGY檢驗，在季節差分。得到平穩的序列    如有異常因素，就就用異常值檢驗。    如有異方差（用Ljung-Box Q統計量檢驗），就用ARCH，或GARCH模型

來自為知筆記(Wiz)

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