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本文将說明單變量和多變量金融時間序列的不同模型，特别是條件均值和條件協方差矩陣、波動率的模型。
均值模型
本節探讨條件均值模型。
iid模型
我們從簡單的iid模型開始。iid模型假定對數收益率xt為N維高斯時間序列：
均值和協方差矩陣的樣本估計量分别是樣本均值
和樣本協方差矩陣
我們從生成資料開始，熟悉該過程并確定估計過程給出正确的結果（即完整性檢查）。然後使用真實的市場資料并拟合不同的模型。
讓我們生成合成iid資料并估算均值和協方差矩陣：
# 生成綜合收益資料
X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)
# 樣本估計（樣本均值和樣本協方差矩陣）
mu_sm <- colMeans(X)
Sigma_scm <- cov(X)
# 誤差
norm(mu_sm - mu, "2")
#> [1] 2.44
norm(Sigma_scm - Sigma, "F")
#> [1] 70.79
現在，讓我們針對不同數量的觀測值T再做一次：
# 首先生成所有資料
X <- rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)
# 現在周遊樣本的子集
for (T_ in T_sweep) {
# 樣本估算
mu_sm <- colMeans(X_)
Sigma_scm <- cov(X_)
# 計算誤差
error_mu_vs_T <- c(error_mu_vs_T, norm(mu_sm - mu, "2"))
error_Sigma_vs_T <- c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm - Sigma, "F"))
# 繪圖
plot(T_sweep, error_mu_vs_T,
main = "mu估計誤差",
plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T
main = "Sigma估計中的誤差", ylab = "誤差"
單變量ARMA模型
對數收益率xt上的ARMA（p，q）模型是
其中wt是均值為零且方差為σ2的白噪聲序列。模型的參數是系數ϕi，θi和噪聲方差σ2。
請注意，ARIMA（p，d，q）模型是時間差分為d階的ARMA（p，q）模型。是以，如果我們用xt代替對數價格，那麼先前的對數收益模型實際上就是ARIMA（p，1，q）模型，因為一旦對數價格差分，我們就獲得對數收益。
rugarch生成資料
我們将使用rugarch包 生成單變量ARMA資料，估計參數并進行預測。
首先，我們需要定義模型：
# 指定具有給定系數和參數的AR（1）模型
#>
#> *----------------------------------*
#> * ARFIMA Model Spec *
#> *----------------------------------*
#> Conditional Mean Dynamics
#> ------------------------------------
#> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
#> Include Mean : TRUE
#>
#> Conditional Distribution
#> ------------------------------------
#> Distribution : norm
#> Includes Skew : FALSE
#> Includes Shape : FALSE
#> Includes Lambda : FALSE
#> Level Fixed Include Estimate LB UB
#> mu 0.01 1 1 0 NA NA
#> ar1 -0.90 1 1 0 NA NA
#> ma 0.00 0 0 0 NA NA
#> arfima 0.00 0 0 0 NA NA
#> archm 0.00 0 0 0 NA NA
#> mxreg 0.00 0 0 0 NA NA
#> sigma 0.20 1 1 0 NA NA
#> alpha 0.00 0 0 0 NA NA
#> beta 0.00 0 0 0 NA NA
#> gamma 0.00 0 0 0 NA NA
#> eta1 0.00 0 0 0 NA NA
#> eta2 0.00 0 0 0 NA NA
#> delta 0.00 0 0 0 NA NA
#> lambda 0.00 0 0 0 NA NA
#> vxreg 0.00 0 0 0 NA NA
#> skew 0.00 0 0 0 NA NA
#> shape 0.00 0 0 0 NA NA
#> ghlambda 0.00 0 0 0 NA NA
#> xi 0.00 0 0 0 NA NA
fixed.pars
#> $mu
#> [1] 0.01
#>
#> $ar1
#> [1] -0.9
#>
#> $sigma
#> [1] 0.2
true_params
#> mu ar1 sigma
#> 0.01 -0.90 0.20
然後，我們可以生成時間序列：
# 模拟一條路徑
apath(spec, n.sim = T)
# 轉換為xts并繪圖
plot(synth_log_returns, main = "ARMA模型的對數收益率"
plot(synth_log_prices, main = "ARMA模型的對數價格"
ARMA模型
現在，我們可以估計參數（我們已經知道）：
# 指定AR（1）模型
arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
# 估計模型
#> mu ar1 sigma
#> 0.0083 -0.8887 0.1987
#> mu ar1 sigma
#> 0.01 -0.90 0.20
我們還可以研究樣本數量T對參數估計誤差的影響：
# 循環
for (T_ in T_sweep) {
estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit))
error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) - true_params)/true_params)
# 繪圖
matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T,
main = "估計的ARMA系數", xlab = "T", ylab = "值",
matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,
main = "估計ARMA系數的相對誤差", xlab = "T", ylab = "誤差 (%)",
首先，真正的μ幾乎為零，是以相對誤差可能顯得不穩定。在T = 800個樣本之後，其他系數得到了很好的估計。
ARMA預測
為了進行健全性檢查，我們現在将比較兩個程式包 Forecast 和 rugarch的結果：
# 指定具有給定系數和參數的AR（1）模型
spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE),
fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))
# 生成長度為1000的序列
arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim
# 使用 rugarch包指定和拟合模型
spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
# 使用包“ forecast”拟合模型
#> ARIMA(1,0,0) with non-zero mean
#>
#> Coefficients:
#> ar1 mean
#> -0.8982 0.0036
#> s.e. 0.0139 0.0017
#>
#> sigma^2 estimated as 0.01004: log likelihood=881.6
#> AIC=-1757.2 AICc=-1757.17 BIC=-1742.47
# 比較模型系數
#> ar1 intercept sigma
#> -0.898181148 0.003574781 0.100222964
#> mu ar1 sigma
#> 0.003605805 -0.898750138 0.100199956
确實，這兩個軟體包給出了相同的結果。
ARMA模型選擇
在先前的實驗中，我們假設我們知道ARMA模型的階數，即p = 1和q = 0。實際上，階數是未知的，是以必須嘗試不同的階數組合。階數越高，拟合越好，但這将不可避免地導緻過度拟合。已經開發出許多方法來懲罰複雜性的增加以避免過度拟合，例如AIC，BIC，SIC，HQIC等。
# 嘗試不同的組合
# 檢視排名
#> AR MA Mean ARFIMA BIC converged
#> 1 1 0 1 0 -0.38249098 1
#> 2 1 1 1 0 -0.37883157 1
#> 3 2 0 1 0 -0.37736340 1
#> 4 1 2 1 0 -0.37503980 1
#> 5 2 1 1 0 -0.37459177 1
#> 6 3 0 1 0 -0.37164609 1
#> 7 1 3 1 0 -0.37143480 1
#> 8 2 2 1 0 -0.37107841 1
#> 9 3 1 1 0 -0.36795491 1
#> 10 2 3 1 0 -0.36732669 1
#> 11 3 2 1 0 -0.36379209 1
#> 12 3 3 1 0 -0.36058264 1
#> 13 0 3 1 0 -0.11875575 1
#> 14 0 2 1 0 0.02957266 1
#> 15 0 1 1 0 0.39326050 1
#> 16 0 0 1 0 1.17294875 1
#選最好的
armaOrder
#> AR MA
#> 1 0
在這種情況下，由于觀察次數T = 1000足夠大，是以階數被正确地檢測到。相反，如果嘗試使用T = 200，則檢測到的階數為p = 1，q = 3。
ARMA預測
一旦估計了ARMA模型參數ϕi ^ i和θ^j，就可以使用該模型預測未來的值。例如，根據過去的資訊對xt的預測是
并且預測誤差将為xt-x ^ t = wt（假設參數已被估計），其方差為σ2。軟體包 rugarch 使對樣本外資料的預測變得簡單：
# 估計模型（不包括樣本外）
coef(arma_fit)
#> mu ar1 sigma
#> 0.007212069 -0.898745183 0.200400119
# 整個樣本外的預測對數收益
forecast_log_returns <- xts([email protected]$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)
# 恢複對數價格
prev_log_price <- head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)
# 對數收益圖
plot(cbind("fitted" = fitted(arma_fit),
# 對數價格圖
plot(cbind("forecast" = forecast_log_prices,
main = "對數價格預測", legend.loc = "topleft")
多元VARMA模型
對數收益率xt上的VARMA（p，q）模型是
其中wt是具有零均值和協方差矩陣Σw的白噪聲序列。該模型的參數是矢量/矩陣系數ϕ0，Φi，Θj和噪聲協方差矩陣Σw。
比較
讓我們首先加載S＆P500：
# 加載标普500資料
head(SP500_index_prices)
#> SP500
#> 2012-01-03 1277.06
#> 2012-01-04 1277.30
#> 2012-01-05 1281.06
#> 2012-01-06 1277.81
#> 2012-01-09 1280.70
#> 2012-01-10 1292.08
# 準備訓練和測試資料
logreturns_trn <- logreturns[1:T_trn]
logreturns_tst <- logreturns[-c(1:T_trn)]
# 繪圖
{ plot(logreturns,
addEventLines(xts("訓練"
現在，我們使用訓練資料（即，對于t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn）來拟合不同的模型（請注意，通過訓示排除了樣本外資料
out.sample = T_tst
）。特别是，我們将考慮iid模型，AR模型，ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍後将對方差模組化進行更詳細的研究）。
# 拟合i.i.d.模型
coef(iid_fit)
#> mu sigma
#> 0.0005712982 0.0073516993
mean(logreturns_trn)
#> [1] 0.0005681388
sd(logreturns_trn)
#> [1] 0.007360208
# 拟合AR（1）模型
coef(ar_fit)
#> mu ar1 sigma
#> 0.0005678014 -0.0220185181 0.0073532716
# 拟合ARMA（2,2）模型
coef(arma_fit)
#> mu ar1 ar2 ma1 ma2 sigma
#> 0.0007223304 0.0268612636 0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 0.0072573570
# 拟合ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型
coef(arch_fit)
#> mu ar1 ma1 omega alpha1
#> 6.321441e-04 8.720929e-02 -9.391019e-02 4.898885e-05 9.986975e-02
#拟合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型
coef(long_arch_fit)
#> mu omega alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha5
#> 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02
#> alpha6 alpha7 alpha8 alpha9 alpha10
#> 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06
# 拟合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型
coef(garch_fit)
#> mu ar1 ma1 omega alpha1 beta1
#> 6.660346e-04 9.664597e-01 -1.000000e+00 7.066506e-06 1.257786e-01 7.470725e-01
我們使用不同的模型來預測對數收益率：
# 準備預測樣本外周期的對數收益
# i.i.d.模型預測
forecast(iid_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
# AR（1）模型進行預測
forecast(ar_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
# ARMA（2,2）模型進行預測
forecast(arma_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
# 使用ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型進行預測
forecast(arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
# ARMA（0,0）+ARCH（10）模型預測
forecast(long_arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
# ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型預測
forecast(garch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
我們可以計算不同模型的預測誤差（樣本内和樣本外）：
print(error_var)
#> in-sample out-of-sample
#> iid 5.417266e-05 8.975710e-05
#> AR(1) 5.414645e-05 9.006139e-05
#> ARMA(2,2) 5.265204e-05 1.353213e-04
#> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.983266e-05
#> ARCH(10) 5.417266e-05 8.975710e-05
#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 9.244012e-05
我們可以觀察到，随着模型複雜度的增加，樣本内誤差趨于變小（由于拟合資料的自由度更高），盡管差異可以忽略不計。重要的實際上是樣本外誤差：我們可以看到，增加模型複雜度可能會得出較差的結果。就預測收益的誤差而言，似乎最簡單的iid模型已經足夠了。
最後，讓我們展示一些樣本外誤差的圖表：
plot(error,
main = "不同模型收益預測的樣本外誤差",
請注意，由于我們沒有重新拟合模型，是以随着時間的發展，誤差越大（對于ARCH模組化尤其明顯）。
滾動視窗比較
讓我們首先通過一個簡單的示例比較靜态預測與滾動預測的概念：
#ARMA（2,2）模型
spec <- spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))
# 靜态拟合和預測
ar_static_fit <- fit(spec = spec, data = logreturns, out.sample = T_tst)
#滾動拟合和預測
modelroll <- aroll(spec = spec, data = logreturns, n.ahead = 1,
# 預測圖
plot(cbind("static forecast" = ar_static_fore_logreturns,
main = "使用ARMA（2,2）模型進行預測", legend.loc = "topleft")
# 預測誤差圖
plot(error_logreturns, col = c("black", "red"), lwd = 2,
main = "ARMA（2,2）模型的預測誤差", legend.loc = "topleft")
我們可以清楚地觀察到滾動視窗過程對時間序列的影響。
現在，我們可以在滾動視窗的基礎上重做所有模型的所有預測：
# 基于i.i.d.模型的滾動預測
roll(iid_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_t
# AR（1）模型的滾動預測
roll(ar_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
# ARMA（2,2）模型的滾動預測
roll(arma_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
# ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型的滾動預測
roll(arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
refit.every = 50, refit.win
# ARMA（0,0）+ ARCH（10）模型的滾動預測
roll(long_arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
refit.every = 50,
# ARMA（1,1）+ GARCH（1,1）模型的滾動預測
roll(garch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
refit.every = 50, refit.window
讓我們看看滾動基準情況下的預測誤差：
print(rolling_error_var)
#> in-sample out-of-sample
#> iid 5.417266e-05 8.974166e-05
#> AR(1) 5.414645e-05 9.038057e-05
#> ARMA(2,2) 5.265204e-05 8.924223e-05
#> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.991902e-05
#> ARCH(10) 5.417266e-05 8.976736e-05
#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 8.895682e-05
和一些圖表：
plot(error_logreturns,
main = "不同模型的滾動預測誤差", legend.loc = "topleft"
我們看到，現在所有模型都拟合了時間序列。此外，我們在模型之間沒有發現任何顯着差異。
我們最終可以比較靜态誤差和滾動誤差：
barplot(rbind(error_var[, "out-of-sample"], rolling_error_var[, "out-of-sample"])
col = c("darkblue", "darkgoldenrod"),
legend = c("靜态預測", "滾動預測"),
我們可以看到，滾動預測在某些情況下是必須的。是以，實際上，我們需要定期進行滾動預測改進。
方差模型
ARCH和GARCH模型
對數收益率殘差wt的ARCH（m）模型為
其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪聲序列，而條件方差σ2t模組化為
其中，m為模型階數，ω> 0，αi≥0為參數。
GARCH（m，s）模型使用σ2t上的遞歸項擴充了ARCH模型：
其中參數ω> 0，αi≥0，βj≥0需要滿足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的穩定性。
rugarch生成資料
首先，我們需要定義模型：
# 指定具有給定系數和參數的GARCH模型
#>
#> *---------------------------------*
#> * GARCH Model Spec *
#> *---------------------------------*
#>
#> Conditional Variance Dynamics
#> ------------------------------------
#> GARCH Model : sGARCH(1,1)
#> Variance Targeting : FALSE
#>
#> Conditional Mean Dynamics
#> ------------------------------------
#> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
#> Include Mean : TRUE
#> GARCH-in-Mean : FALSE
#>
#> Conditional Distribution
#> ------------------------------------
#> Distribution : norm
#> Includes Skew : FALSE
#> Includes Shape : FALSE
#> Includes Lambda : FALSE
#> Level Fixed Include Estimate LB UB
#> mu 0.005 1 1 0 NA NA
#> ar1 -0.900 1 1 0 NA NA
#> ma 0.000 0 0 0 NA NA
#> arfima 0.000 0 0 0 NA NA
#> archm 0.000 0 0 0 NA NA
#> mxreg 0.000 0 0 0 NA NA
#> omega 0.001 1 1 0 NA NA
#> alpha1 0.300 1 1 0 NA NA
#> beta1 0.650 1 1 0 NA NA
#> gamma 0.000 0 0 0 NA NA
#> eta1 0.000 0 0 0 NA NA
#> eta2 0.000 0 0 0 NA NA
#> delta 0.000 0 0 0 NA NA
#> lambda 0.000 0 0 0 NA NA
#> vxreg 0.000 0 0 0 NA NA
#> skew 0.000 0 0 0 NA NA
#> shape 0.000 0 0 0 NA NA
#> ghlambda 0.000 0 0 0 NA NA
#> xi 0.000 0 0 0 NA NA
#> $mu
#> [1] 0.005
#>
#> $ar1
#> [1] -0.9
#>
#> $omega
#> [1] 0.001
#>
#> $alpha1
#> [1] 0.3
#>
#> $beta1
#> [1] 0.65
true_params
#> mu ar1 omega alpha1 beta1
#> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650
然後，我們可以生成收益率時間序列：
# 模拟一條路徑
hpath(garch_spec, n.sim = T)
#> num [1:2000, 1] 0.167 -0.217
# 繪圖對數收益
{ plot(synth_log_returns, main = "GARCH模型的對數收益", lwd = 1.5)
lines(synth_volatility
GARCH
現在，我們可以估計參數：
# 指定一個GARCH模型
ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0)
# 估計模型
coef(garch_fit)
#> mu ar1 omega alpha1 beta1
#> 0.0036510100 -0.8902333595 0.0008811434 0.2810460728 0.6717486402
#> mu ar1 omega alpha1 beta1
#> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650
# 系數誤差
#> mu ar1 omega alpha1 beta1
#> 0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402
我們還可以研究樣本數量T對參數估計誤差的影響：
# 循環
for (T_ in T_sweep) {
garch_fit
error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs((coef(garch_fit) - true_params)/true_params))
estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(garch_fit))
# 繪圖
matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,
main = "估計GARCH系數的相對誤差", xlab = "T", ylab = "誤差 (%)",
真實的ω幾乎為零，是以誤差非常不穩定。至于其他系數，就像在ARMA情況下一樣，μ的估計确實很差（相對誤差超過50％），而其他系數似乎在T = 800個樣本後得到了很好的估計。
GARCH結果比較
作為健全性檢查，我們現在将比較兩個軟體包 fGarch 和 rugarch的結果：
# 指定具有特定參數值的ARMA（0,0）-GARCH（1,1）作為資料生成過程
garch_spec
#生成長度為1000的資料
path(garch_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$
# 使用“ rugarch”包指定和拟合模型
rugarch_fit <- ugarchfit(spec = garch_spec, data = x)
# 使用包“ fGarch”拟合模型
garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = x, trace = FALSE)
# 比較模型系數
#> mu omega alpha1 beta1
#> 0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595
#> mu omega alpha1 beta1
#> 0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.73971658
# 比較拟合的标準偏差
print(head(fGarch_fi
#> [1] 0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994
print(head(rugar
#> [1] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555
确實，這兩個軟體包給出了相同的結果。
使用rugarch包進行GARCH預測
一旦估計出GARCH模型的參數，就可以使用該模型預測未來的值。例如，基于過去的資訊對條件方差的單步預測為
給定ω^ /（1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j）。軟體包 rugarch 使對樣本外資料的預測變得簡單：
# 估計模型，不包括樣本外
garch_fit
coef(garch_fit)
#> mu ar1 omega alpha1 beta1
#> 0.0034964331 -0.8996287630 0.0006531088 0.3058756796 0.6815452241
# 預測整個樣本的對數收益
[email protected]$sigmaFor[1, ]
# 對數收益圖
plot(cbind("fitted" = fitted(garch_fit),
main = "合成對數收益預測", legend.loc = "topleft")
#波動率對數收益圖
plot(cbind("fitted volatility" = sigma(garch_fit),
main = "預測合成對數收益率的波動性", legend.loc = "topleft")
不同方法
讓我們首先加載S＆P500：
# 加載标準普爾500指數資料
head(SP500_index_prices)
#> SP500
#> 2008-01-02 1447.16
#> 2008-01-03 1447.16
#> 2008-01-04 1411.63
#> 2008-01-07 1416.18
#> 2008-01-08 1390.19
#> 2008-01-09 1409.13
# 準備訓練和測試資料
x_trn <- x[1:T_trn]
x_tst <- x[-c(1:T_trn)]
# 繪圖
{ plot(x, main = "收益"
addEventLines(xts("訓練", in
常數
讓我們從常數開始：
plot(cbind(sqrt(var_constant), x_trn)
main = "常數")
移動平均值
現在，讓我們使用平方收益的移動平均值：
plot(cbind(sqrt(var_t), x_trn),
main = "基于簡單滾動平方均值的包絡線(時間段=20)
EWMA
指數權重移動平均線（EWMA）：
請注意，這也可以模組化為ETS（A，N，N）狀态空間模型：
plot(cbind(std_t, x_trn),
main = "基于平方EWMA的包絡")
乘法ETS
我們還可以嘗試ETS模型的不同變體。例如，具有狀态空間模型的乘性噪聲版本ETS（M，N，N）：
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
main = "基于平方的ETS（M，N，N）的包絡"
ARCH
現在，我們可以使用更複雜的ARCH模組化：
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
main = "基于ARCH(5)的包絡")
GARCH
我們可以将模型提升到GARCH：
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
main = "基于GARCH（1,1）的包絡")
SV随機波動率
最後，我們可以使用随機波動率模組化：
或者，等效地，
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black"),
main = "基于随機波動率的包絡分析")
比較
現在，我們可以比較每種方法在樣本外期間的方差估計中的誤差：
#> MA EWMA ETS(M,N,N) ARCH(5) GARCH(1,1) SV
#> 2.204965e-05 7.226188e-06 3.284057e-06 7.879039e-05 6.496545e-06 6.705059e-06
barplot(error_all, main = "樣本外方差估計中的誤差"
滾動視窗比較
六種方法的滾動視窗比較：MA，EWMA，ETS（MNN），ARCH（5），GARCH（1,1）和SV。
#滾動視窗
lookback <- 200
len_tst <- 40
for (i in seq(lookback, T-len_tst, by = len_tst)) {
# MA
var_t <- roll_meanr(x_trn^2, n = 20, fill = NA)
var_fore <- var(x_trn/sqrt(var_t), na.rm = TRUE) * tail(var_t, 1)
error_ma <- c(error_ma, abs(var_fore - var_tst))
# EWMA
error_ewma <- c(error_ewma, abs(var_fore - var_tst))
# ETS(M,N,N)
error_ets_mnn <- c(error_ets_mnn, abs(var_fore - var_tst))
# ARCH
error_arch <- c(error_arch, abs(var_fore - var_tst))
# GARCH
error_garch <- c(error_garch, abs(var_fore - var_tst))
# SV
error_sv <- c(error_sv, abs(var_fore - var_tst))
}
barplot(error_all, main = "方差估計誤差",
多元GARCH模型
出于說明目的，我們将僅考慮恒定條件相關（CCC）和動态條件相關（DCC）模型，因為它們是最受歡迎的模型。對數收益率殘差wt模組化為
其中zt是具有零均值和恒定協方差矩陣II的iid白噪聲序列。條件協方差矩陣Σt模組化為
其中Dt = Diag（σ1，t，...，σN，t）是标準化噪聲向量C，協方差矩陣ηt=C-1wt（即，它包含等于1的對角線元素）。
基本上，使用此模型，對角矩陣Dt包含一組單變量GARCH模型，然後矩陣C包含序列之間的一些相關性。該模型的主要缺點是矩陣C是恒定的。為了克服這個問題，DCC被提議為
其中Ct包含等于1的對角元素。要強制等于1的對角元素，Engle将其模組化為
Qt具有任意對角線元素并遵循模型
我們将生成資料，估計參數和預測。
從加載多元ETF資料開始：
- SPDR S＆P 500 ETF
- 20年以上國債ETF
- IEF：7-10年期國債ETF
# 下載下傳資料
prices <- xts()
head(prices)
#> SPY TLT IEF
#> 2013-01-02 127.8779 99.85183 93.65224
#> 2013-01-03 127.5890 98.49886 93.17085
#> 2013-01-04 128.1493 98.88306 93.21463
#> 2013-01-07 127.7991 98.92480 93.26714
#> 2013-01-08 127.4314 99.57622 93.49468
#> 2013-01-09 127.7553 99.48438 93.54719
# 繪制三個對數價格序列
plot(log(prices)
main = "三個ETF的對數價格", legend.loc = "topleft")
首先，我們定義模型：
# 指定i.i.d.單變量時間序列模型
ugarch_spec
# 指定DCC模型
spec( multispec(replicate(spec, n = 3))
接下來，我們拟合模型：
# 估計模型
#>
#> *---------------------------------*
#> * DCC GARCH Fit *
#> *---------------------------------*
#>
#> Distribution : mvnorm
#> Model : DCC(1,1)
#> No. Parameters : 44
#> [VAR GARCH DCC UncQ] : [30+9+2+3]
#> No. Series : 3
#> No. Obs. : 1007
#> Log-Likelihood : 12198.4
#> Av.Log-Likelihood : 12.11
#>
#> Optimal Parameters
#> -----------------------------------
#> Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
#> [SPY].omega 0.000004 0.000000 11.71585 0.000000
#> [SPY].alpha1 0.050124 0.005307 9.44472 0.000000
#> [SPY].beta1 0.870051 0.011160 77.96041 0.000000
#> [TLT].omega 0.000001 0.000001 0.93156 0.351563
#> [TLT].alpha1 0.019716 0.010126 1.94707 0.051527
#> [TLT].beta1 0.963760 0.006434 149.79210 0.000000
#> [IEF].omega 0.000000 0.000001 0.46913 0.638979
#> [IEF].alpha1 0.031741 0.023152 1.37097 0.170385
#> [IEF].beta1 0.937777 0.016498 56.84336 0.000000
#> [Joint]dcca1 0.033573 0.014918 2.25044 0.024421
#> [Joint]dccb1 0.859787 0.079589 10.80278 0.000000
#>
#> Information Criteria
#> ---------------------
#>
#> Akaike -24.140
#> Bayes -23.925
#> Shibata -24.143
#> Hannan-Quinn -24.058
#>
#>
#> Elapsed time : 0.8804049
我們可以繪制時變相關性：
# 提取時變協方差和相關矩陣
dim(dcc_cor)
#> [1] 3 3 1007
#繪圖
plot(corr_t
main = "時變相關", legend.loc = "left")
我們看到兩個收益ETF之間的相關性非常高且相當穩定。與SPY的相關性較小，在小于0的區間波動。
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