1 前言
JPEG是joint Photographic Experts Group(聯合圖像專家組)的縮寫，檔案後辍名為”．jpg”或”．jpeg”。
jpg圖檔可以說是最常見的圖檔格式了，基本上你的自拍照，要麼是png的，要麼就是jpeg的了。（有關jpeg和png的差別，請參考我的另一博文【jpeg 與 png 圖檔格式的差別】）
但它是一種有損壓縮。支援多種壓縮級别，壓縮比率通常在10：1到40：1之間，壓縮比越大，品質就越低；相反地，壓縮比越小，品質就越好。
那麼，JPEG是如何壓縮的呢？靠的就是傳說中的DCT(離散餘弦變換)。
下圖是JPEG壓縮/解壓縮的流程圖。我想你最大的疑問估計就是DCT了。
2 JPEG壓縮流程
2.1 以8x8的圖象塊為基本機關進行編碼
如下圖所示。比如一個160x160大小的原始圖像，就可以分成20x20個8x8圖像塊。
每個圖像塊共64個像素。像素可以用RGB或YUV表示，需要3個byte。是以嚴格來說，上圖3個箭頭代表的資料，指的是RGB/YUV的某一個值，比如Y。
2.2 将RGB轉換為亮度-色調-飽和度系統（YUV），并重新采樣
YUV是什麼？它也是一種很不錯的圖像資料表示方法，特别是在視訊領域。
Y：指顔色的明視度、亮度、灰階值；
U：指色調；
V：指飽和度。
YUV是一個統稱，其實有很多具體格式，比如YUV420, YUV444, YUV422。
YUV的某些格式，和RGB比起來，其資料量要少很多。
比如YUV420，每個像素需要一個Y，每4個像素需要一個U/V，是以一個8*8圖像塊，資料量隻要8x8x3/2 = 96byte。而RGB需要8x8x3 = 192byte。少了一半的資料量。現在很多視訊都是YUV420作為色域。
當然啦，在本次轉換，用的是YUV444， 也就是每個像素都有YUV的值。
YUV與RGB可以互相轉換。
Y=0.299R+0.587G+0.114B
U=0.148R-0.289G+0.473B
V=0.615R-0.515G-0.1B
2.3 FDCT與IDCT
一個是正變換，一個是逆變換。反正都可以稱為離散餘弦變換。
根據8*8的二維DCT定義
其中：0<= u, v < 8
a(v) = a(u)
是輸入8x8像素的坐标。
是輸出的8x8變換結果的坐标。
不要把上式看的有多難，也不要被“離散餘弦變換”這個詞給吓到，其實他沒什麼（如果你非要去追究，那就打開“信号與系統”的書複習一下吧，我攔不住你哈），上式其實就是一個運算公式而已。
輸入就是8x8的資料矩陣，經過計算，輸出還是一個8x8的資料矩陣。
其實上式可以簡化為：
并且A和A轉置矩陣都是已知的。是以，說白了，就是個矩陣運算。對程式來說，很簡單。
稱G（0,0），也就是輸出8x8矩陣的（0,0）坐标的值，為直流系數，其他為交流系數。
之是以稱它為直流系數，是因為當u, v = 0時，cos()結果都為0，是以最後結果就是輸入矩陣的8x8的每個數值的和，再乘于a(u) x a(v) x 1/4 = 1/8。
當然了，輸入資料其實是有3個的，也就是YUV，是以對每個8x8的原始圖像資料，需要做3次DCT。
2.4 量化與反量化
定義：将DCT變換後的臨時結果，除以各自量化步長并四舍五入後取整，得到量化系數。
為什麼可以量化？！
因為經過DCT後，資料就不同了，左上方都是大數值，右下方都是小數值。比如左上方都是幾十幾百的，右下方附近，都是個位數，那麼，大數值和小數值就可以分别量化。
在術語裡，左上方稱為低頻資料，右下方稱為高頻資料。
你要是不了解，可以這麼想，既然G（0,0）都是直流分量了，那頻率不就是0？不就是所謂的低頻？^^
還是不了解？好吧，那你也可以這麼想：
比如cos(ax)，a是常數，x是變量。那麼，根據頻率f = a/2π，a越大，函數的頻率越高。
看看DCT公式：
u,v 越大，則越在右下方對吧。當計算某個G(u, v)時，x, y是變量，u, v相當于常數，當u/v越大，則頻率越高！
這就是為啥右下方稱為高頻資料了！
好了，别走偏了，還繼續說量化。
JPEG系統分别規定了亮度分量和色度分量的量化表，色度分量相應的量化步長比亮度分量大。
對量化系數的處理群組織
思想：JPEG采用定長和變長相結合的編碼方法。
直流系數：通常相鄰8*8圖象塊的DC分量很接近，是以JPEG對量化後的直流分量采用無失真DPCM編碼。通常JPEG要儲存所需比特數和實際內插補點。
交流系數：經過量化後，AC分量出現較多的0。JPEG采用對0系數的行程長度編碼。而對非0值，則要儲存所需數和實際值。
ZIG-ZAG排序：為使連續的0個數增多，采用Z形編碼。
你要是不了解，看看下面的例子，就知道為啥ZIG-ZAG可以俘獲更多的0了！
3 應用舉例
3.1 編碼
某個圖象的一個8*8方塊，的亮度值。
由于一個位元組是0~255，為了減小絕對值波動，先把數值移位一下，變成-128~127。
接着，根據DCT變換公式，各種計算，獲得臨時結果。
根據亮度量化表量化後得到的量化系數矩陣
獲得量化結果：
可見，新的資料，很小，很多是0。正如上文所說，這麼多0，完全可以用遊程編碼，大大縮小資料量。
3.2 解碼
先遊程編碼恢複為
然後，根據量化表，恢複
再根據反離散餘弦變換的公式：
結果為：
再右移127，恢複原始。
和原始圖像的資料相比，基本是一樣的，或者近似的！
4 其他
必須再強調的是，JPEG壓縮是有損失的，從上面的例子就看出來，輸出結果并不是完全等于輸入。
此外，JPEG壓縮比例是可以控制的，隻不過圖像品質會變差。比如
壓縮率：10
壓縮率：50
JPEG壓縮比例，就是通過控制量化的多少來控制。比如，上面的量化矩陣Q，如果我把矩陣的每個數都double一下，那是不是會出現更多的0？！說不定都隻有G(0, 0)非0，其他都是0，如果這樣，那編碼時就可以更省空間啦，N個0隻要一個遊程編碼搞定，資料量超小。但也意味着，恢複時，會帶來更多的誤差，圖像品質也會變差了。
參考：
https://en.wikipedia.org/wiki/JPEG#Discrete_cosine_transform