Delay and Sum
Fixed Beamforming中最簡單的一類——delay and sum，就是信号延遲之後再相加，感興趣的部分因為信号是相關的，是以越加越大，而不敢興趣的噪聲是不相關的，是以加了和沒加一樣。這樣解釋比較通俗一點。稍微不通俗的，Delay and Sum是求解這麼一個問題——在限制條件下最大化白噪聲增益WNG：
不難得到，此時的濾波器為：
DS最大化WNG的同時（等于10*logM，實際計算WNG和DF的時候要取10*log），Directivity Factor則沒有任何的改進（不過後面有專門最大化DF的MaxDF）。比如麥克風個數為8的時候，WNG = 10log8 = 9 ，且是和頻率無關的。但是此時的DF仍是和頻率、麥克風個數、聲源入射角度有關的量。同時，當在高頻，擴散聲場接近與白噪聲場時，DF也會接近WNG的值。下圖是我python仿真DF在麥克風距離等于3cm，入射角度為90時候，麥克風個數依次為2、4、6、8時候的Delay and Sum的DF。
此外，仿真出了Delay and Sum在不同頻率下的beampattern的熱力圖，我們不妨算下，當麥克風間距為3cm時，根據上一章讨論的混疊的條件波長要大于3*2=6cm時才不會發生混疊，也即頻率小于5666Hz時不會發生混疊, 下圖也明顯的可以看到右上方混疊出現的條件，即也是和入射角有關的。
下圖則是一個非常明顯的混疊的beampattern，陣列響應的旁瓣也同時達到了最大值的。其條件是麥克風個數8，距離3cm，頻率8000Hz
delay and sum的玩法很多，比如可以按照數字信号處理加窗的方法，同樣給空間信号加窗，窗的形式也各種各樣。比如最典型的一種加Dolph-Chebyshev窗，此方法可以大大降低旁瓣，是一種比較簡單的降低旁瓣的技術，但是需要較多數量的麥克風個數。此外。 可以看到下圖應用窗之後旁瓣明顯降低了許多。
最大指向性因數 Maximum DF
上述的Delay and Sum（DS）是最大化WNG，而此類則是最大化DF，也即
此時對應的陣列的系數即可滿足最大化DF，這裡就不敲公式了。相比于DS，MDF的DF最大化的同時，肯定損失了WNG，尤其是在低頻段，WNG甚至小于0db，反而放大了白噪聲。下圖就是d=3時，陣列在不同頻率及麥克風個數下典型的WNG和DF的表現圖。
下圖則是Maximum在M=8，d=3cm，f=8000，phi=90度時候的beampattern
數值計算表明，當maxDF的入射角為0或者180的時候，DF才會達到最大。且麥克風間距小的時候，DF也會越來越大。是以我們管這種beamforming叫做superdirective
RobustSuperdirective
superdirective 的波束形成的DF很漂亮，但是WNG的表現卻很糟糕，是以可以給予WNG和DF設定不同的比例因子，進而找到一個能夠較好的平衡WNG和DF的beamforming以增加對噪聲的魯棒性，此類的beamforming即為Robust Superdirective。
下圖分别為平衡因數等于0.01（越大越利于WNG）時候，在f=1000和8000Hz時候beam的表現
下兩圖分别為平衡因數等于0.1和0.9時候陣列的表現。
Null steering
此類波束形成，顧名思義，沒有導向矢量（steering vector），隻是利用了空間中不同聲源的角度，定制化的波束形成。比如有四個聲源，角度分别不同，依據此方法，可以隻保留第一個聲源角度方位資訊的信号，而壓制其他方位的信号。
同樣的此方法涉及到WNG和DF平衡的問題，是以也引入了平衡因數，用以控制這個跷跷闆。以下兩圖分别是45度和90度有幹擾聲源的null steering（設計0度保持，45、90度壓制），可以看到45，90度的信号已經被完全壓制，0度時候信号保持的還算可以，但是相應的其他方向比如，90-180度陣列的增益會達到最大。是以應用此方法的前提是隻有這幾個方向有信号，其他方向都沒有。
subspace法
最後一種則是subspace法，子空間法。
我花了很多的時間研究此方法，但最終還是沒能得到正确的結果，很遺憾。
方法的核心思想是把信号分解到隻有噪聲+信号和隻有噪聲的子空間中，通過聯合對角化的方法求得特征向量及對應的特征值，特征值按降序排列，對應的特征向量對應不同的子空間。求解時隻要按序選擇不同的子空間個數就可以得到不同的beamforming。當取全部的特征向量時，對應的是Delay and Sum，當取第一個特征值最大對應但特征向量的時候則是super directive。依次來平衡WNG和DF。
我花了很長的時間研究矩陣的聯合對角化，從一開始自己看原文了解，到最後求助原文作者提供給我參考書籍獲得聯合對角化的求解matlab代碼，照葫蘆畫瓢用python實作了一下，但還是沒能得到正确結果。此時花費的時間已經約4-5天，有點太長了，是以就停下來繼續準備後續的adaptive了。并于今天做了此文的總結。
不過也不是一點收獲也沒有，我借此重新學習了特征值、特征向量、矩陣對角化等概念，這些在降噪、盲分離中非常重要，但計算開銷較大，還好，還好，是以子空間在實時降噪增強中并不多見。于是乎，就先這樣吧，以後說不定哪一天就突然撥開烏雲見天日了呢。
下一周adaptive beamforming搞起！
更新，不死心的我今天又琢磨了一天的subspace，這一次終于對了。是numpy函數dot一維向量自動計算内積造成的，真的太坑了。。稍微沒注意。。搞了好幾天。。。真是大坑，不過搞定了問題終于松了一口氣，可以開開心心的進擊adaptive filter了