GPS從入門到放棄（十三） — 接收機自主完好性監測（RAIM）

接收機自主完好性監測（RAIM: Receiver Autonomous Integrity Monitoring）是根據使用者接收機的備援觀測值監測使用者定位結果的完好性，其目的是在導航過程中檢測出發生故障的衛星，并保障導航定位精度。

為了能進行接收機自主完好性監測，必須有備援的觀測量。一般來說，需要可見衛星數5顆以上才可進行完好性檢測；需要有6顆以上才可能辨識出故障衛星。

RAIM 的增強版本為 RAIM-FDE（FDE: Fault Detection Exclusion），即故障檢測與排除技術，因為需要排除故障衛星，是以必須使用最少6顆可見衛星。

RAIM 算法對于安全性有嚴格要求的應用非常重要，如民航、航空之類。

RAIM 有不同的實作算法：僞距殘差判決法、僞距比較法、校驗向量法以及最大解分離法。

僞距殘差判決法

在定位方程解算中我們講過了定位方程組

G [ Δ x Δ y Δ z c ⋅ Δ δ t ] = b \boldsymbol{G} \left[ \begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z\\ c\cdot\Delta \delta_{t} \end{array} \right] = \boldsymbol{b} G⎣⎢⎢⎡​ΔxΔyΔzc⋅Δδt​​⎦⎥⎥⎤​=b

其中 b \boldsymbol{b} b 為僞距殘差。在用最小二乘法定位結束後，如果參與定位的衛星數量大于4顆，若定位結果正确，則僞距殘差應該是比較小的；若定位結果有錯誤，則僞距殘差會比較大。于是我們可以根據定位後僞距殘差的大小來判決定位結果是否正确。這種方法就叫僞距殘差判決法。

假設兩次定位之間的間隔時間很短（一般情況下也是事實），那麼接收機在兩次定位之間位置和鐘差變化并不大，于是幾何矩陣 G \boldsymbol{G} G 可以認為是不變的。設前一次定位的僞距殘差為 b \boldsymbol{b} b，本次定位的僞距殘差為 z \boldsymbol{z} z，則：

z = b − G [ Δ x Δ y Δ z c ⋅ Δ δ t ] = b − G ( G T G ) − 1 G T b = [ I − G ( G T G ) − 1 G T ] b \boldsymbol{z} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{G} \left[ \begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z\\ c\cdot\Delta \delta_{t} \end{array} \right] = \boldsymbol{b}-\boldsymbol{G}(\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{b} = [\boldsymbol{I} - \boldsymbol{G}(\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T]\boldsymbol{b} z=b−G⎣⎢⎢⎡​ΔxΔyΔzc⋅Δδt​​⎦⎥⎥⎤​=b−G(GTG)−1GTb=[I−G(GTG)−1GT]b

令 S = I − G ( G T G ) − 1 G T \boldsymbol{S}=\boldsymbol{I} - \boldsymbol{G}(\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T S=I−G(GTG)−1GT，則 z = S b \boldsymbol{z = Sb} z=Sb，可知我們無須計算最小二乘解就可以由 b \boldsymbol{b} b 算得 z \boldsymbol{z} z，然後檢查 z \boldsymbol{z} z 的各個分量值是否滿足判決條件。

一般來說，會設定某個門限值，若 z \boldsymbol{z} z 的某個分量值高于門限值，則認為某個測量值有問題。

也可以計算僞距殘差的平方和：

S S E = z T z SSE = \boldsymbol{z}^T\boldsymbol{z} SSE=zTz

它是一個标量，符合自由度為 n − 4 n-4 n−4 的 χ 2 \chi^2 χ2 分布，其中 n n n 為觀測量個數。可以根據 S S E SSE SSE 的機率分布來計算出給定虛警率下的檢測門限值，然後根據這個門限值去判決是否存在錯誤觀測量。

僞距比較法

僞距比較法是直接利用僞距來判決。步驟如下：

1. 在觀測數量大于4的情況下，對 n n n 個觀測量進行分組，一組為4個，另一組為 n − 4 n-4 n−4 個。
2. 對4個的那一組進行最小二乘法解算出接收機位置。
3. 對 n − 4 n-4 n−4 個的那一組計算衛星位置。
4. 根據解算出的接收機位置和衛星位置估算僞距。
5. 将估算的僞距與實際觀測的僞距進行比較。若比較結果都很接近，說明觀測結果沒問題，第2步中解算的位置也沒問題。否則說明有問題。
6. 對有問題的情況進行處理。得看具體情況。若隻有一個比較結果差異很大，則很大機率是那一個觀測值有問題；若很多比較結果都差異很大，則很大機率是最小二乘解有問題。若有必要，可以重新分組，重新計算比較判定。

校驗向量法

此方法是構造出一個校驗矩陣 P \boldsymbol{P} P，然後計算出校驗向量 p = P b \boldsymbol{p} = \boldsymbol{Pb} p=Pb。判決方法是用 p \boldsymbol{p} p 向量的模來判決是否出現了觀測量錯誤，然後用 p \boldsymbol{p} p 向量的元素和原點之間的連線的斜率來判決哪一個僞距觀測值出錯的機率最大。

P \boldsymbol{P} P 矩陣的選取并不唯一，可以通過對幾何矩陣 G \boldsymbol{G} G 做 Q R \boldsymbol{QR} QR 分解來得到，即若 G = Q R \boldsymbol{G = QR} G=QR，則 Q \boldsymbol{Q} Q 的轉置矩陣的底部 n − 4 n-4 n−4 行就是 P \boldsymbol{P} P 矩陣。

最大解分離法

其基本思想是将 N ( N ≥ 5 ) N (N \ge 5) N(N≥5) 個僞距觀測量分成 N N N 組，每一組不包含第 i 個僞距觀測量， i = 1 , 2 , ⋯   , N i=1,2,\cdots,N i=1,2,⋯,N。則每組包含 N − 1 N-1 N−1 個觀測量，可以用最小二乘法求得一個解，于是可以得到 N N N 個解。計算這 N N N 個解之間的兩兩距離，若距離都很接近，說明全部觀測量沒有錯誤；反之，則至少有一個觀測量有錯誤。通過求出兩兩距離的最大值來跟一個預設的門限值比較來判定是否有觀測量出錯。

這個方法的缺點是計算量很大，而且出錯時不容易排除錯誤。