代數定義：
設二維空間内有兩個向量
和
，定義它們的數量積（又叫内積、點積）為以下實數：
更一般地，n維向量的内積定義如下：
其中兩個次元相同的向量的内積也可以表示為：
幾何定義（隻适用于2維和3維空間）：
運算律：
交換律：
配置設定律：
結合律：
，其中m是實數
公式是很容易了解，但是意義呢？
内積運算将兩個向量映射為一個實數。其計算方式非常容易了解，但是其意義并不明顯。下面我們分析内積的幾何意義。假設A和B是兩個n維向量，我們知道n維向量可以等價表示為n維空間中的一條從原點發射的有向線段，為了簡單起見我們假設A和B均為二維向量，則A=(x1,y1)，B=(x2,y2) 。則在二維平面上A和B可以用兩條發自原點的有向線段表示，見下圖：
好，現在我們從A點向B所在直線引一條垂線。我們知道垂線與B的交點叫做A在B上的投影，再設A與B的夾角是a，則投影的矢量長度為|A|cos(a)，其中
是向量A的模，也就是A線段的标量長度。
注意這裡我們專門區分了矢量長度和标量長度，标量長度總是大于等于0，值就是線段的長度；而矢量長度可能為負，其絕對值是線段長度，而符号取決于其方向與标準方向相同或相反。
到這裡還是看不出内積和這東西有什麼關系，不過如果我們将内積表示為另一種我們熟悉的形式：
現在事情似乎是有點眉目了：A與B的内積等于A到B的投影長度乘以B的模。再進一步，如果我們假設B的模為1，即讓|B|=1|B|=1，那麼就變成了：
也就是說，設向量B的模為1，則A與B的内積值等于A向B所在直線投影的矢量長度！這就是内積的一種幾何解釋，也是我們得到的第一個重要結論。在後面的推導中，将反複使用這個結論