GPS從入門到放棄（六） — 開普勒軌道參數

開普勒軌道參數是用于描述衛星軌道的，GPS衛星的無攝橢圓軌道運動就是用開普勒軌道參數來描述。參考GPS導航電文，電文中的星曆和曆書都是用開普勒軌道參數來描述的。

一套開普勒軌道參數包含6個參數：軌道升交點赤經、軌道傾角、近地點角距、長半徑、偏心率和真近點角。

• 軌道升交點赤經 Ω 0 \Omega_0 Ω0​ （Longitude of Ascending Node of Orbit Plane）
• 軌道傾角 i 0 i_0 i0​ （Inclination Angle）
• 近地點角距 ω \omega ω （Argument of Perigee）
• 長半徑 a a a （Semi-Major Axis of Orbit）
• 偏心率 e e e （Eccentricity）
• 真近點角 ν \nu ν （True Anomaly）

要想确定衛星的位置，首先要确定衛星運作軌道所在平面的位置。衛星軌道平面通過地心，與赤道面相交，其夾角就是軌道傾角。衛星軌道在軌道平面内，衛星沿着軌道由南向北運作時與赤道面的交點稱為衛星赤道升交點，簡稱升交點。此升交點在赤道面内與春分點對地心的夾角即為軌道升交點赤經。有了軌道傾角和軌道升交點赤經，就可以确定衛星軌道平面相對赤道面的位置。

軌道平面确定後，需要确定軌道橢圓。近地點角距用于确定橢圓方位，它是近地點在軌道平面内與升交點相對地心的夾角，确定了軌道橢圓長軸的方向。再加上長半徑和偏心率，橢圓在軌道平面内的位置就确定下來了。

最後一個參數真近點角用于确定衛星在軌道橢圓上的相對位置，它定義為衛星目前位置在軌道平面内與近地點相對地心的夾角。

于是通過這一套開普勒軌道參數，衛星相對赤道的空間位置就确定了。

對于一顆無攝狀态下運作的衛星來說，這一套開普勒參數除了真近點角以外都是常數，而真近點角是時間的函數，且和時間的關系比較複雜。于是GPS衛星星曆并不直接給出真近點角 ν \nu ν，而是給出偏近點角 E E E（Eccentric anomaly）和平近點角 M M M（Mean Anomaly）。

其中在 t t t 時刻的平近點角 M M M 是以衛星平均角速度 n n n 運作的角距，即

M = n ( t − t 0 ) M = n(t-t_0) M=n(t−t0​)

偏近點角 E E E 和平近點角 M M M 的關系由開普勒方程給出，即

M = E − e sin ⁡ E M = E - e \sin E M=E−esinE

而偏近點角 E E E 和真近點角 ν \nu ν 的關系如下：

cos ⁡ ν = cos ⁡ E − e 1 − e cos ⁡ E \cos\nu = \frac{\cos E - e}{1-e\cos E} cosν=1−ecosEcosE−e​

sin ⁡ ν = 1 − e 2 sin ⁡ E 1 − e cos ⁡ E \sin\nu = \frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{1-e\cos E} sinν=1−ecosE1−e2

​sinE​

ν = arctan ⁡ ( 1 − e 2 sin ⁡ E cos ⁡ E − e ) \nu = \arctan\left(\frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{\cos E - e}\right) ν=arctan(cosE−e1−e2

​sinE​)