随機信号分析基礎——例題篇（例題3.4）

書籍參考：随機信号分析基礎——王永德、王軍（第五版）

1、讨論各态曆經性，本質是對樣本函數在一定有效觀察時間上取時間平均。

随機過程X(t)時間平均、時間自相關函數定義式如下：

x ( t ) ‾ = lim ⁡ T ⟶ ∞ ( 1 / 2 T ) ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) d t \overline{x(t)}={\lim}_{T\longrightarrow\infty}(1/2T)\int_{-\infty}^{{+\infty}}x(t)dt x(t)​=limT⟶∞​(1/2T)∫−∞+∞​x(t)dt

x ( t ) x ( t + τ ) ‾ = lim ⁡ T ⟶ ∞ ( 1 / 2 T ) ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) x ( t + τ ) d t \overline{x(t)x(t+\tau)}={\lim}_{T\longrightarrow\infty}(1/2T)\int_{-\infty}^{{+\infty}}x(t)x(t+\tau)dt x(t)x(t+τ)​=limT⟶∞​(1/2T)∫−∞+∞​x(t)x(t+τ)dt

從公式可以看到時間平均中觀測時間越長越好，趨于無窮無限長。但實際上是不可能做到無限長的時間，是以必須選擇到一個有效的有限時間T，在這個時間内進行觀測。

于是有效觀測時間T就替代了無窮 ∞ \infty ∞。

2、但是如何獲得有效觀測時間呢？

當信号衰減到隻能觀測到直流成分 a a a時，就得到了有效的觀測時間T，因為隻有交流成分才包含有用資訊。通過選擇 d t dt dt離散時間序列，求出均值(也就是直流成分）比對 a a a，如果相等說明 d t dt dt有效，随之确定了有效的采樣間隔 d t dt dt。

3、圖中題目上已經解答出來了，隻需要将T替換無窮進行計算。

當 x ( t ) ‾ = E [ X ( t ) ] = m X \overline{x(t)}=E[X(t)]=m_X x(t)​=E[X(t)]=mX​， x ( t ) x ( t + τ ) ‾ = E [ X ( t ) X ( t + τ ) ] = R X ( τ ) \overline{x(t)x(t+\tau)}=E[X(t)X(t+\tau)]=R_X(\tau) x(t)x(t+τ)​=E[X(t)X(t+τ)]=RX​(τ)

則說明X(t)滿足寬各态曆經，低維的是以是寬。

4、滿足各态曆經性為什麼抗幹擾性弱？

一、各态曆經性内涵：在寬平穩條件，使用單樣本的時間平均來代替多樣本的統計平均。

就如上面的例子，該随機過程X(t)滿足各态曆經性，隻需要使用一個延時器，一個乘法器、加一個低通濾波器就可以得到其時間自相關函數，而自相關函數包含所有資訊。是以抗幹擾性弱。

二、延時器獲得 X ( t + τ ) X(t+\tau) X(t+τ)，乘法器獲得 X ( t + τ ) X ( t ) X(t+\tau)X(t) X(t+τ)X(t)，低通濾波器是進行時間平均，通過調節延時 τ \tau τ，就能測量得到時間自相關函數 x ( t ) x ( t + τ ) ‾ \overline{x(t)x(t+\tau)} x(t)x(t+τ)​，而 R X ( τ ) = x ( t ) x ( t + τ ) ‾ R_X(\tau)=\overline{x(t)x(t+\tau)} RX​(τ)=x(t)x(t+τ)​。

平穩過程的自相關函數為核心數字特征也是随機過程分析的目标，一個确定的時間函數，其包括交流資訊也包括直流資訊。得到了自相關函數就獲得了随機過程的資訊。

5、使用時間平均的優缺點在哪？

缺點：使用有效的時間來替代無限長的時間，這會給結果帶來一定誤差。

優點：避免了統計平均中不可能實作的充足樣本、複雜的處理方法、很大的實驗工作量，樣本不需要充足單樣本即可。

結語：如何得到有效觀測時間？

根據上面理論，當觀測到直流分量時，但根據随機序列的收斂性，序列實際上永遠不會衰減為一個常數，那麼如何得到？實際上是利用柯西準則。