1. 局域實在論與貝爾不等式
愛因斯坦以及兩位年輕同僚波多爾斯基（Boris Podolsky）和羅森（Nathan Rosen）發現量子糾纏與局域實在論的沖突，認為量子力學不完備[1,2]。意思是，除了量子力學中的量子态之外，實體系統還存在額外的變量，可以刻畫系統的準确狀态。這些額外的變量叫作隐變量，它們代表了所謂的實在論。如果一個代替量子力學的理論包含隐變量，它就叫作隐變量理論。如果這個理論還滿足局域性，就叫局域隐變量理論，或者局域實在論。
在EPR論文之前，1931年，馮諾伊曼（von Neumann）就在數學上證明過隐變量不存在[3]。在EPR論文之後，1950到1960年代有一些關于隐變量理論的讨論，特别是玻姆（David Bohm）的一系列工作。1964年貝爾（John Bell）指出（1966年發表），馮諾伊曼的證明并不成立[4]。
1964年，貝爾又提出，局域實在論與量子力學是沖突的，他發表了一個不等式，是任何局域隐變量理論都應該滿足的不等式[5]。後來所有這一類的不等式都叫貝爾不等式，是關于兩個子系統的測量結果的關聯，每個子系統由一個局域的觀察者對之進行測量。用局域隐變量理論計算各種測量結果的關聯，其結果滿足貝爾不等式，而在量子力學中，如果這兩個子系統用某些量子糾纏态描述，那麼根據量子力學計算的結果是違反貝爾不等式的。
在這篇題為“論愛因斯坦-波多爾斯基-羅森佯謬”的論文中，貝爾用了玻姆首創的形式，基于自旋
語言，但是也适合其他類似的分立變量，如光子偏振。兩個粒子的觀測量A和B，是自旋值除以恰當的系數，取值都是1或者-1，依賴于隐變量與各自測量方向a和b，是以A(a,λ)=±1, B(b,λ)=±1。根據局域實在論，它們的關聯是 P(a,b)=∫dλρ(λ)A(a,λ)B(b,λ)。對于A和B嚴格關聯A(a,λ)=-B(a,λ)，貝爾證明了
1+P(b,c)≥|P(a,b)–P(a,c)|.
而對于自旋糾纏态
，量子力學給出P(a,b)= –a•b，選擇适當的a、b、c，得到對不等式的違反。對于光子偏振的量子糾纏态
，P(a,b)=-cos2θ，其中θ是a和b的夾角。
量子力學基本問題曾被視為“隻是哲學”，貝爾不等式表明，這是有理論、有實驗的實體，将原來帶有形而上學味道的讨論轉變為可以用實驗定量決定的判定，将哲學問題轉化為定量的科學問題。
檢驗大自然是否滿足貝爾不等式的實驗叫作貝爾測試。作貝爾測試需要使用分居兩地又處于量子糾纏态的子系統，也需要迅速高效的探測，以及事先不可預測的對于每個測量裝置的獨立安排。所有有關貝爾不等式違反（或稱貝爾定理）的工作都是在貝爾的開創性工作基礎之上發展而來的。
實驗判定量子力學勝利，局域實在論失敗。但是長期以來，實驗判定上存在邏輯漏洞或額外假設，直到近年來才基本消除。而貝爾不等式的提出和驗證又與量子資訊學的興起密切相關，包括概念和實驗技術。2022年的諾貝爾實體學獎工作就是對這兩方面的重大貢獻。
2. Bell-CHSH不等式與實驗
2.1 CHSH不等式
貝爾最初的不等式的具體形式所依賴的假設過于理想化，比如嚴格關聯，無法在實際實驗中核實，是以不适合真實的實驗。1969年，克勞澤（John Clauser）、霍恩（Michael Horne）, 西蒙尼（Abner Shimony）和霍爾特（Richard Holt）推廣了貝爾的不等式，他們推廣後的不等式通常稱為CHSH或者Bell-CHSH不等式[6]。
Bell-CHSH不等式更适合實際情況，可以在現實的實驗中檢驗。
延續上面我們對貝爾不等式的讨論。考慮A(a,λ)[B(b,λ)+B(b’,λ)]+A(a’,λ)[B(b,λ)-B(b’,λ)]。它肯定等于±2，因為B(b,λ)+B(b’,λ)與B(b,λ)-B(b’,λ)中必然有一個等于±2，一個等于0。由此得到S=P(a,b)+P(a,b’)+P(a’,b)-P(a’,b’) 滿足
–2≤S≤2.
這就是Bell-CHSH不等式。而對于貝爾态，比如，可以達到S=
，違反Bell-CHSH不等式。
是以隻要有局域實在性，Bell-CHSH不等式即可成立，而且可以在實驗上檢驗。而量子力學違反它。是以，量子力學與局域實在論哪個正确，就看哪個與實驗符合。
另外，1989年，塞林格（Anton Zeilinger）曾經與格林伯格（Daniel Greenberg）和霍恩（Michael Horne）發現一種三粒子量子糾纏态具有特别的性質，不需要統計平均，也不需要構造不等式，就與局域實在論存在沖突[7]。
2.2 Freedman-Clauser實驗
1969年提出Bell-CHSH不等式時，克勞澤是分子天體實體專業博士生。1970年獲博士學位後，他來到伯克利加州大學，成為湯斯（Charles Townes）的博士後，被允許自主研究貝爾不等式。在伯克利，1967年，康明斯（Eugene Commins）的學生科克（Carl Kocher）的博士論文工作是研究來自同一個原子源的光子對的時間關聯[8]。
在這個系統中，級聯躍遷産生糾纏光子對。鈣原子的一個外層電子從基态
被激發到
，又躍遷到
，從這個能級躍遷到
，發出一個光子；再躍遷回基态
，又發出一個光子。為了保持宇稱守恒為偶宇稱，角動量守恒為0，是以雙光子偏振态必然是
。在此糾纏态下，光子在兩邊都被探測到的符合率是
，其中φ是檢測兩個光子的偏振片的夾角。但是科克所選擇研究的兩個檢測光子的偏振片夾角是0度和90度，不能用來檢驗貝爾不等式。
克勞澤和康明斯的博士生弗裡德曼（Stuart Freedman，現已去世）改造了這個實驗裝置，改進了偏振器的效率。這個系統中，CHSH不等式給出
其中
是沒有偏振器時的符合率。
克勞澤和弗裡德曼實驗上得到上式左邊是0.05±0.008，以6個标準差的實驗精度違反貝爾不等式[9]。
克勞澤和弗裡德曼實驗的漫畫示意圖（圖檔來自nobelprize.org）
這個初步的實驗嘗試有漏洞和局限——産生和探測粒子的效率低，測量也是事先設定好，是以邏輯上，有可能隐變量使得對粒子的探測有選擇性，或者測量裝置的設定（特别是偏振器的測量方向）影響了光子發出時的偏振，進而導緻貝爾不等式的違反，而且不滿足局域性要求。
局域性是貝爾不等式的一個關鍵前提假設。互相分離的兩個子系統的測量必須互相獨立，包括選擇做哪種測量，比如位置還是動量，或者是橫向的磁矩還是縱向的磁矩（磁矩正比于自旋），或者偏振片的透光方向。是以必須保證二者的測量時間差足夠小，以至于不可能有實體信号從一方傳到另一方。因為所有的信号速度不超過光速，實驗上必須保證雙方測量的時間差小于距離除以光速，用相對論的語言，這叫做類空間隔。弗裡德曼-克勞澤實驗的固定設定不滿足局域性要求。
2.3 阿斯佩實驗
1981至1982年，阿斯佩（Alain Aspect）與合作者格朗吉耶（Phillipe Grangier），羅歇（Gerard Roger）和達利巴爾（Jean Dalibard）做了3個實驗，以高精度觀察到了對Bell-CHSH不等式的違反，在很大程度上滿足局域性要求。
在第一個實驗中[10]，在發生級聯過程前，通過兩套雷射，用雙光子吸收直接将電子激發到
，這比以前通過
有效得多。
在第二個實驗中[11]，用雙通道偏振器進行測量，得到很好的統計和很大的對貝爾不等式的違反，精度是幾十個标準偏差。
貝爾當初就指出，實驗設定要在粒子飛行過程中改變[5]。如果兩邊偏振測量方向做随機的改變，而且所費的時間小于兩個粒子從源分别到達偏振器的時間，就能保證糾纏粒子被測量時，時空間隔是類空的，兩邊的測量沒有因果關聯。
這在阿斯佩的第三個實驗中部分得到實作。這是三個實驗中最重要的[12]。從鈣原子到偏振片距離6米，光子飛行隻有20納秒，在光子飛行過程中是來不及旋轉偏振器的。但是他們用了阿斯佩早些年設計的巧妙方法[13]。一對光子在到達一對偏振片之前，經過一個聲光開關，被導向兩對偏振器中的一對。聲光開關每10ns切換一次。所使用的CHSH不等式給出
，量子力學給出0.112。
實驗得到0.101±0.020, 與量子力學一緻，違反不等式。精度是5個标準偏差。
阿斯佩的第三個實驗的漫畫示意圖（圖檔來自nobelprize.org）
這些實驗以及後來的很多貝爾測試實驗都判定量子力學勝利，局域實在論失敗。但是這些工作中仍然存在技術性的邏輯漏洞，如在探測器效率或局域性上。
在阿斯佩的第三個實驗中，因為在糾纏光子對離開源之後，偏振器的測量方向做了改變，是以邏輯上來說，在很大可能性上，光子産生時的偏振沒有受到偏振器測量方向的影響。
但是，這兩個偏振器之間距離很短，由于技術的局限性，做不到在光子飛行時，随機改變測量裝置。是以在阿斯佩的第三個實驗中，測量裝置的改變并不是随機的，而是周期性的。具體來說，我覺得邏輯上，不能排除比較複雜的“陰謀論”：既然測量裝置的改變是周期的，那麼測量時的偏振器方向與過去的偏振器方向的關系是确定，是以後者也可能影響了光子産生時的偏振。是以阿斯佩的第三個實驗并沒有關閉局域性漏洞，但是仍然具有裡程碑的曆史地位。
2.4 塞林格組補上局域性漏洞
1997年，塞林格研究組的實驗終于補上了局域性漏洞[14]。在他們的實驗中，分析糾纏光子對的實驗裝置相距400米，以光速飛行則需要1300納秒。糾纏光子對通過光纖傳到偏振片。每個光子的偏振分析裝置的方向有足夠的時間進行快速的随機改變——用随機數産生器控制，用原子鐘計時。一系列光子對的測量結束後，實驗人員将兩邊的資料搜集起來，分析關聯。
塞林格研究組的貝爾測試實驗的漫畫示意圖（圖檔來自nobelprize.org）。
在補上局域性漏洞後，塞林格組又做過很多貝爾測試，其中一個實驗用來自不同類星體的光子的波長資訊來決定偏振測量方向[15]，這反映在漫畫中。與此同時，潘建偉組的實驗用來自不同恒星的光子的波長資訊來決定偏振測量方向[16]。
在這個實驗中，各種技術改進很多。值得指出，這裡用第2類參量下轉換（type-II parametric down conversion）方法産生糾纏光子對。這是一個非線性光學過程，用β-BBO（偏硼酸鋇）晶體實作。β-BBO晶體是由中國科學院福建物質結構研究所首次發現和研制的紫外倍頻晶體。這種方法産生的糾纏光子對，可以通過光纖傳送，進而分開很大的距離。這個方法最早由歐澤宇和L. Mandel, 以及史硯華和C. O. Alley于1980年代實作，并以此做了貝爾測試[17,18]，後來歐澤宇， Pereira, Kimble和彭堃墀用這個方法實作了連續變量（所謂的光振幅）的糾纏以及貝爾測試[19]。後來人們用這個方法實作了相距幾公裡[20]和幾十公裡[21]的糾纏光子的貝爾測試。塞林格組對此方法的使用始于與史硯華的一個合作工作，在4分鐘内實作了100标準偏差以上的貝爾不等式違反[22]。
我們前面說過，愛因斯坦等人揭示了量子糾纏與定域實在論（即定域性和實在論共同成立）的沖突，愛因斯坦是量子糾纏研究的最大功臣。但是正如阿斯佩曾經說過的，在相對論性分離（即類空間隔）下所選擇的測量下，對貝爾不等式的違反，意味着“用粒子共同源決定的、由光子對攜帶的共同性質來解釋關聯”這樣的愛因斯坦圖像不能保持了，我們必須做出結論：糾纏粒子對确實是不可分離的整體，無法賦予其中每個粒子單獨的局域性質[23]。
3.後續
在關于貝爾不等式的實驗中，還長期存在“探測漏洞”。因為被探測到的糾纏粒子隻是最初産生的糾纏對中的一部分，有多少被探測到與實驗裝置有關。在公平取樣的前提下，實驗上得到的統計分析才可以用來檢驗貝爾不等式。但是探測器的效率是有限的，如果探測效率不夠高，就可能做不到公平取樣，這就是探測漏洞。
要補上探測漏洞，保證公平取樣，必須滿足這樣的條件：當一邊測量到光子時，另一邊也探測到光子的機率大于2/3[24]。2001年和2008年的離子實驗[25,26]補上了探測漏洞。2013年，塞林格組[27]和Kwiat組[28]在光子實驗中也補上探測漏洞。
2015年，有幾個實驗都同時補上局域性漏洞和探測漏洞，塞林格組[29]和NIST的Shalm組[30]都用了可以快速改變的偏振片和高效率的光子探測器，Delft的Hensen組用兩對電子-光子對[31]，測量兩個光子，使得兩個電子糾纏。後來，在2017年Weinfurter用相距398米的糾纏原子也同時補上這兩個漏洞[32]。
下面再介紹一下“自由選擇漏洞”。貝爾不等式是關于兩個子系統的各種測量結果之間的關聯，涉及測量裝置的幾種不同設定，比如測量的方向。這在貝爾不等式的推導中是完全自由的，與隐變量無關。
而在貝爾測試中，需要自由随機選擇這幾個不同設定。長期以來，在實驗中，即使局域性漏洞和探測漏洞都補上了，也還是由儀器來随機選擇實驗裝置的安排。這并不理想，因為萬一這些儀器所作的選擇本身就是由隐變量決定的呢？這叫做“自由選擇漏洞”。貝爾曾提出可以用人的自由選擇來保證明驗裝置的安排的不可預測性。但是當時的技術做不到。
2016年11月30日，一個叫做“大貝爾測試”（The Big Bell Test）的實驗項目就是這樣的實驗，補上了這個“自由選擇漏洞”。實驗中所作的選擇都是來自全球各地的約10萬個志願者。12小時内，這些志願者通過一個網絡遊戲“The BIG Bell Quest”，每秒産生1000比特資料，總共産生了97347490比特資料。參加遊戲的志願者被要求在一定時間内輸入一定的随機比特0或1，被用于對實驗中所作選擇的指令。有個機器學習算法會根據已輸入的比特，提醒志願者避免可預測性，但是對産生的資料不作選擇。
全球五個洲的12個實驗室在12個小時内做了13個貝爾實驗。這些實驗用10萬名志願者無規提供的這些資料來安排測量裝置，不同的實驗采用不同的資料。在不同系統的貝爾測試的結果表明了局域實在論在這些系統中被違反。其中幾個是潘建偉組、塞林格組等分别完成的光子偏振實驗。
2018年5月9日，Nature雜志以“用人的選擇挑戰局域實在論”為題， 發表了這13個貝爾實驗的結果[33,34]，顯示局域實在論在光子、單原子、原子系綜與超導器件等系統中被違反。這一工作代表了對量子力學基本理論的檢驗又前進了一步。
最後提一下，既然局域實在論與量子力學沖突，那麼沖突的源泉來自哪裡，局域論還是實在論？為研究這個問題，萊格特（Anthony J. Leggett）考慮一種“加密非局域實在論”：作為非局域性，對于确定的偏振方向，被測量量既依賴測量偏振片方向，也依賴于另一邊的偏振片方向。但是實體态是各種偏振方向的統計平均，服從局域規律，如馬呂斯定律。對此，萊格特導出萊格特不等式，被量子力學違反[35]。最近我們提出一個推廣的萊格特不等式，特别适用于粒子實體中的糾纏介子，被量子力學和粒子實體違反[36]。
2022年諾貝爾實體學獎授予克勞澤、阿斯佩和賽林格，獎勵他們關于糾纏光子的實驗，奠定了貝爾不等式的違反，也開創了量子資訊科學。他們的開創性實驗使量子糾纏成為“有力的工具”，為量子科技的新紀元打下基礎。
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