GPS研究---GPS 定位系統的基本觀測模型

利用 GPS 進行導航定位，不管采用何種方法，都必須通過使用者 GPS 接收機(觀測站)對衛星發射的信号進行觀測測量，進而獲得衛星到使用者的距離，進而确定使用者的位置。由于各種誤差的影響，這并非真實的反映衛星到使用者的幾何距離，這種帶有誤差的 GPS 量測距離，稱為僞距。目前，在 GPS 定位測量中，廣泛采用的觀測量有兩種，即測碼僞距觀測量和測相僞距觀測量。

1.測碼僞距的觀測模型

測碼僞距觀測量，實際上是觀測 GPS 衛星發射的測距碼信号(C/A 碼或 P 碼)到達使用者接收機天線的電波傳播時間 τ {\tau} τ。是以，這種觀測方法也稱為時間延遲量。

為了測量上述碼信号的時間延遲，在使用者 GPS 接收機裡複制了與衛星發射的測距碼結構完全相同的碼信号，利用僞随機碼良好的自相關性，通過接收機中的時間延遲器，使複制的測距碼進行相移，使其在碼元上與接收到的衛星發射的測距碼對齊，即進行相關處理，當相關系數為 1 時，接收到衛星測距碼與本地複制的測距碼對齊。為此所需要的相移量就是衛星發射的碼信号到達接收機的傳播延遲 τ {\tau} τ，或稱為時間延遲。

在衛星鐘和接收機鐘完全同步的情況下，同時忽略掉其他誤差影響，所得到的時間延遲量 τ {\tau} τ 與光速 c 的相乘，即得到衛星到 GPS 接收機天線之間的幾何距離。但實際上，由于各種誤差影響，這個距離并不是真實的衛星到接收機天線的幾何距離，而是含有誤差的僞距。

若取符号：

t j ( G P S ) {t^j(GPS)} tj(GPS)——表示衛星 s j {s^j} sj 發射信号時的理想 GPS 時刻；

t i ( G P S ) {t_i(GPS)} ti​(GPS) ——表示接收機 T i {T_i} Ti​ 收到該衛星信号時的理想 GPS 時刻；

t j {t^j} tj——表示衛星 s j {s^j} sj 發射信号時的衛星鐘時刻；

t i {t_i} ti​ ——表示接收機 T i {T_i} Ti​ 收到該衛星信号時的接收機鐘時刻；

Δ t i j {\Delta t_i^j} Δtij​ ——表示在忽略大氣折射影響下， t j {t^j} tj 時刻衛星 s j {s^j} sj 發射的信号于接收機時

鐘 t i {t_i} ti​ 時刻到達接收機 T i {T_i} Ti​ 的傳播時間；

δ t j {\delta t^j} δtj ——表示衛星鐘相對理想 GPS 時的鐘差；

δ t i {\delta t_i} δti​ ——表示接收機鐘相對理想 GPS 時的鐘差，則有：

{ δ t j = t j − t j ( G P S ) δ t i = t i − t i ( G P S ) \left\{ \begin {array} {c} \delta t^j=t^j-t^j(GPS) \\ \delta t_i=t_i-t_i(GPS) \\\end {array} \right. {δtj=tj−tj(GPS)δti​=ti​−ti​(GPS)​

Δ t i j = t i − t j = [ t i ( G P S ) − t j ( G P S ) ] + [ δ t i − δ t j ] = τ i j + δ t i j \Delta t_i^j=t_i-t^j=[t_i(GPS)-t^j(GPS)]+[\delta t_i-\delta t^j]=\tau_i^j+\delta t_i^j Δtij​=ti​−tj=[ti​(GPS)−tj(GPS)]+[δti​−δtj]=τij​+δtij​

由此，信号從衛星傳播到接收機天線中心的幾何距離為 R i j {R_i^j} Rij​ ，相應的僞距為 ρ i j {\rho_i^j} ρij​在忽略大氣折射影響的條件下，由上式可得：

ρ i j = c Δ t i j = R i j + c δ t i j \rho_i^j=c\Delta t_i^j=R_i^j+c\delta t_i^j ρij​=cΔtij​=Rij​+cδtij​

由于 GPS 衛星上設有高精度的原子鐘，同時衛星星鐘與理想 GPS 時的鐘差，通常可以從衛星播發的導航電文中得到。經鐘差修正以後，各衛星間的同步差，可以保持在 20ns 以内，是以，衛星鐘差修正以後隻需要考慮 GPS 接收機的鐘差，這樣可以得到測碼僞距觀測方程的表達式：

ρ i j ( t ) = R i j ( t ) + c δ t i ( t ) + Δ i , I j ( t ) + Δ i , T j ( t ) \rho_i^j(t)=R_i^j(t)+c\delta t_i(t)+\Delta_{i,I}^j(t)+\Delta_{i,T}^j(t) ρij​(t)=Rij​(t)+cδti​(t)+Δi,Ij​(t)+Δi,Tj​(t)

式中：

δ t i ( t ) {\delta t_i(t)} δti​(t)表示接收機鐘相對觀測曆元 t 的鐘差；

Δ i , I j ( t ) {\Delta_{i,I}^j(t)} Δi,Ij​(t)表示觀測曆元 t 時刻電離層折射對測碼僞距的影響；

Δ i , T j ( t ) {\Delta_{i,T}^j(t)} Δi,Tj​(t)表示觀測曆元 t 時刻對流層折射對測碼僞距的影響；

考慮到電離層和對流層延遲可以通過它們各自的誤差模型計算，衛星位置可以利用導航電文通過計算得到，是以，上式包含 4 個未知量，它們是三維位置和接收機鐘差，這樣接收機同時觀測 4 顆以上 GPS 衛星，就可以進行三維實時定位。

2 載波相位的觀測模型

載波相位觀測量是指衛星星鐘jt 時刻發射的載波信号，在使用者接收機鐘it 時刻被接收到，衛星載波信号由發射到被接收，期間載波信号傳播的相位稱為載波相位觀測量，也稱為測相僞距觀測量。假設，接收機内振蕩器頻率初相與衛星發射載波初相完全相同，又假設星鐘和接收機鐘完全同步，則載波相位觀測量實際上是衛星jt 時刻載波相位與使用者接收機it 時刻的複制載波相位之差，這個內插補點與載波波長的乘積，即為衛星到接收機的幾何距離，如圖 3.1 所示。和測碼僞距一樣，由于各種誤差存在，這個距離并不是衛星到接收機天線的真實幾何距離，也是含有誤差的僞距。

由于載波頻率高，波長短，是以載波相位測量精度高，其精度要比僞碼測距定位高幾個數量級，故載波相位測量被廣泛應用于精密定位之中。

為了實作載波相位測量，在 GPS 信号被接收到以後，首先進行僞随機碼的延遲鎖定，即實作對衛星信号的跟蹤。一旦跟蹤成功，衛星僞随機碼與接收機本地僞随機碼嚴格對齊，此時給出僞距觀測量。之後利用鎖相環實作相位的鎖定，一旦相位鎖定成功，就得到了參考載波信号與衛星載波信号的相位差，即：

ϕ i j ( t i ) = φ i ( t i ) − φ j ( t j ) {\phi_i^j(t_i)=\varphi_i(t_i)-\varphi^j(t^j) } ϕij​(ti​)=φi​(ti​)−φj(tj)

式中： φ j ( t j ) {\varphi^j(t^j)} φj(tj)為衛星于曆元 t j {t^j} tj 時刻發射的載波信号相位； φ i ( t i ) {\varphi_i(t_i)} φi​(ti​)為接收機于曆元 t i {t_i} ti​ 時刻的參考載波信号相位； ϕ i j ( t i ) {\phi_i^j(t_i)} ϕij​(ti​) 為上述兩信号之差，機關為周數（每 2 π {2\pi} 2π 弧度為一周）。

也可将上式寫為整周數 N i j ( t ) {N_i^j(t)} Nij​(t)與不足一周的小數部分 δ φ i j ( t ) {\delta \varphi_i^j(t)} δφij​(t)之和，即為：

ϕ i j ( t ) = N i j ( t ) + δ φ i j ( t ) \phi_i^j(t)=N_i^j(t)+\delta\varphi_i^j(t) ϕij​(t)=Nij​(t)+δφij​(t)

但是，餘弦信号是一種沒有标記的信号，根據鎖相環路的工作原理，對于某一時刻 t 0 {t_0} t0​ ，鎖相環隻能測量出不足整周的小數部分 δ φ i j ( t ) {\delta\varphi_i^j(t)} δφij​(t) ，而不能測出載波相差的整數部分 N i j ( t 0 ) {N_i^j(t_0)} Nij​(t0​)。

當衛星于曆元 t 0 {t_0} t0​ 被鎖定後，載波相位變化的整周期數能夠被自動計數，其後任意觀測曆元 t {t} t 的總相差可以寫為：

ϕ i j ( t ) = δ φ i j ( t ) + N i j ( t − t 0 ) + N i j ( t 0 ) = φ i j ( t ) + N i j ( t 0 ) \phi_i^j(t)=\delta\varphi_i^j(t)+N_i^j(t-t_0)+N_i^j(t_0)=\varphi_i^j(t)+N_i^j(t_0) ϕij​(t)=δφij​(t)+Nij​(t−t0​)+Nij​(t0​)=φij​(t)+Nij​(t0​)

式中： N i j ( t 0 ) {N_i^j(t_0)} Nij​(t0​)為初始曆元的整周未知數（或稱為整周模糊度），它在信号被鎖定後，稱為一個常數； N i j ( t − t 0 ) {N_i^j(t-t_0)} Nij​(t−t0​)表示從起始觀測曆元 t 0 {t_0} t0​ 至後續觀測曆元 t {t} t 之間載波相位的整周數，由接收機自動計數來确定； φ i j ( t ) {\varphi_i^j(t)} φij​(t)為觀測曆元 t {t} t 的實際觀測值。其幾何意義如圖 3.2 所示。但如果發生接收機對衛星的失鎖情況，即接收機的自動計數中斷，當接收機重新鎖定衛星，恢複計數時，鎖相環不會發現由于失鎖而導緻的部分整周數未記錄，進而使得測量結果會産生很大偏差，這種現象稱為周跳。這種情下，必須對重新鎖定後的衛星，開始新的計數。

對于 GPS 載波來說，一個整周誤差将會引起 19～24cm 的距離誤差。是以，準确地解算整周未知數是利用載波相位觀測量進行精密定位的重要問題。

假設，在理想的 GPS 時下，衛星 s j {s^j} sj 在曆元 t j ( G P S ) {t^j(GPS)} tj(GPS) 發射的載波信号的相位為 φ j [ t j ( G P S ) ] {\varphi^j[t^j(GPS)]} φj[tj(GPS)]，而接收機 T i {T_i} Ti​在曆元 t i ( G P S ) {t_i(GPS)} ti​(GPS) 的參考載波信号的相位為 φ i [ t i ( G P S ) ] {\varphi_i[t_i(GPS)]} φi​[ti​(GPS)] ，則它們的相位差可寫為：

ϕ i j [ t ( G P S ) ] = φ j [ t j ( G P S ) ] − φ i [ t i ( G P S ) ] \phi_i^j[t(GPS)]=\varphi^j[t^j(GPS)]-\varphi_i[t_i(GPS)] ϕij​[t(GPS)]=φj[tj(GPS)]−φi​[ti​(GPS)]

目前，GPS 接收機所采用的均為高品質晶體振蕩器，其頻率穩定度在短時間内很高，例如 1 秒鐘内可達 1 0 − 11 − 1 0 − 12 {10^{-11}-10^{-12}} 10−11−10−12 ，這樣頻率漂移所産生的誤差可以忽略，衛星發射的載波信号頻率與接收機振蕩器的固定參考頻率在短時間内是相等的，假設為 f，則有：

ϕ i [ t ( G P S ) ] = φ j [ t j ( G P S ) ] − f ⋅ [ t i ( G P S ) − t j ( G P S ) ] \phi_i[t(GPS)]=\varphi^j[t^j(GPS)]-f\cdot[t_i(GPS)-t^j(GPS)] ϕi​[t(GPS)]=φj[tj(GPS)]−f⋅[ti​(GPS)−tj(GPS)]

于是，上上式可寫為：

ϕ i j [ t ( G P S ) ] = f ⋅ [ t i ( G P S ) − t j ( G P S ) ] = f ⋅ Δ τ i j \phi_i^j[t(GPS)]=f\cdot[t_i(GPS)-t^j(GPS)]=f\cdot\Delta\tau_i^j ϕij​[t(GPS)]=f⋅[ti​(GPS)−tj(GPS)]=f⋅Δτij​

其中， Δ τ i j = t i ( G P S ) − t j ( G P S ) {\Delta\tau_i^j=t_i(GPS)-t^j(GPS)} Δτij​=ti​(GPS)−tj(GPS) 表示衛星信号的傳播時間，它與衛星信号的發射曆元以及信号的接收曆元有關。考慮到大氣折射的影響，衛星信号傳播時間的最終表達式:

Δ τ i j = 1 c R i j ( t ) ⋅ [ 1 − 1 c R i j ( t ) ] − 1 c R i j ( t ) ⋅ δ t i ( t ) + 1 c [ Δ i , I j ( t ) + Δ i , T j ( t ) ] \Delta\tau_i^j=\frac{1}{c}R_i^j(t)\cdot[1-\frac{1}{c}R_i^j(t)]-\frac{1}{c}R_i^j(t)\cdot\delta t_i(t)+\frac{1}{c}[\Delta_{i,I}^j(t)+\Delta_{i,T}^j(t)] Δτij​=c1​Rij​(t)⋅[1−c1​Rij​(t)]−c1​Rij​(t)⋅δti​(t)+c1​[Δi,Ij​(t)+Δi,Tj​(t)]

式中： R i j ( t ) {R_i^j(t)} Rij​(t)為衛星與測站的幾何距離；, Δ i , I j {\Delta_{i,I}^j} Δi,Ij​為電離層對載波信号的傳播路程的影響； Δ i , T j {\Delta_{i,T}^j} Δi,Tj​為對流層對載波信号的傳播路程的影響。

考慮到衛星鐘和接收機鐘均含有鐘差，是以在計算衛星發射信号和接收機參考信号相位差時，必須将鐘差考慮在内：

ϕ i j ( t ) = φ i j [ t ( G P S ) ] + f ⋅ [ δ t i ( t ) − δ t j ( t ) ] = f ⋅ Δ τ i j + f ⋅ [ δ t i ( t ) − δ t j ( t ) ] \phi_i^j(t)=\varphi_i^j[t(GPS)]+f\cdot[\delta t_i(t)-\delta t^j(t)] =f\cdot\Delta\tau_i^j+f\cdot[\delta t_i(t)-\delta t^j(t)] ϕij​(t)=φij​[t(GPS)]+f⋅[δti​(t)−δtj(t)]=f⋅Δτij​+f⋅[δti​(t)−δtj(t)]

= f c R i j ( t ) ⋅ [ 1 − 1 c R i j ( t ) ] + f ⋅ [ 1 − 1 c R i j ( t ) ] ⋅ δ t i ( t ) − f ⋅ δ t j ( t ) + f c [ Δ i , I j ( t ) + Δ i , T j ( t ) ] =\frac{f}{c}R_i^j(t)\cdot[1-\frac{1}{c}R_i^j(t)]+f\cdot[1-\frac{1}{c}R_i^j(t)]\cdot\delta t_i(t)-f\cdot\delta t^j(t)+\frac{f}{c}[\Delta_{i,I}^j(t)+\Delta_{i,T}^j(t)] =cf​Rij​(t)⋅[1−c1​Rij​(t)]+f⋅[1−c1​Rij​(t)]⋅δti​(t)−f⋅δtj(t)+cf​[Δi,Ij​(t)+Δi,Tj​(t)]

對于同一觀測站 T i {T_i} Ti​ 和同一顆衛星 S j {S^j} Sj 而言， N i j ( t 0 ) {N_i^j(t_0)} Nij​(t0​)隻與初始觀測曆元 t 0 {t_0} t0​有關，在曆元 t 0 {t_0} t0​至 t {t} t的觀測過程中，隻要跟蹤的衛星不失鎖， N i j ( t 0 ) {N_i^j(t_0)} Nij​(t0​)就保持為一個常量；結合式(3-7)可得到測相僞距的觀測方程：

3.觀測方程的線性化

GPS 定位的原理就是利用 GPS 接收機測量獲得的星站僞距以及導航電文中的星曆資料來接收機 T i {T_i} Ti​ (觀測站)在 WGS-84 坐标系中的位置。在實際應用中，必須将

觀測方程線性化。

在測碼僞距觀測方程式(3-4)中，右端的第一項中 R i j ( t ) {R_i^j(t)} Rij​(t)為：