數學，期望（Balls and Boxes，HDU 5810）

本題是半推半猜做出來的。

n個球放到m個盒子。

第i個盒子有Xi個球。

可知Xi~b（n，1/m）

E（Xi）=n/m

Var（Xi）=n（m-1）/m^2

如果Xi互相獨立，那麼Xi可以看成第i次獨立重複實驗随機變量X的值，其中X~b（n，1/m）那麼 V=∑mi=1(Xi−X¯)2m 就是對X方差的無偏估計。（已知均值，是以分母不是m-1）

關于樣本均值和總體均值：

https://www.zhihu.com/question/20099757

可以參考機率論參數估計部分。

是以E（V）=Var（X）=Var（Xi）=n（m-1）/m^2

這跟正确答案一樣。

但是Xi不是互相獨立的。

本來隻是想深入探索下，結果好像自己證出來了。

把m個Xi當成一個整體來考慮，這就是一個m維随機變量，Xi同分布于~b（n，1/m），但是Xi之間不互相獨立。

根據期望和方差的運算性質。

E（V）=1/m∑E（Xi-X）^2=1/m∑Var（Xi）=Var（Xi）。

可以參考

機率論與數理統計（茆詩松）

第三章 多元随機變量部分

重點是3.4.1和3.4.2裡的一些概念和運算性質。

代碼

#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n,m;

ll gcd(ll a,ll b)
{
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}

void solve()
{
    ll fz = n*(m-1);
    ll fm = m*m;
    ll GCD = gcd(fz,fm);
    fz/=GCD;
    fm/=GCD;
    printf("%lld/%lld\n",fz,fm);
}

int main()
{
    while(~scanf("%lld %lld",&n,&m)&&n&&m) solve();
    return 0;
}