作者：Peter Galan
“
掌握如何減少噪聲，使用中斷服務例程，以及更多關于PID控制傳遞函數的資訊。
”
雖然在 s 域中處理控制系統是完全合乎邏輯的，因為受控系統是連續（時間）運作的，但控制系統的實作是另一回事。現在，幾乎所有的控制系統都是基于微處理器（微控制器）或數字信号處理器的數字系統，如圖 1所示。
▎圖 1 ：此框圖顯示了一個數字閉環控制系統。
用于離散時間控制系統的 PID
模拟 PID 控制器，仍然被認為是非常強大的（圖 2），可以修改為離散時間控制系統，因為将其微分方程（等式 1）重寫為其差分形式（等式 2）并不困難。
其中 u[n] 是目前時間 n 的驅動值，e[n] 是時間 n 的調節誤差， e [n-1] 是前一采樣時間 n-1 的調節誤差。T 是采樣的時間段。相同的時間段 T 用于信号處理，即用于 u[n] 的計算。
對于實際應用，等式 2 需要從積分部分開始進行某些修改。積分部分将調節誤差的每個值相加，然後将該和乘以時間常數和積分常數。如果時間或積分常數的值突然變化（這可能發生，尤其是在整定過程中），則驅動值将突然變化并導緻問題。更好的方法是先将調節誤差乘以這兩個常數，然後再累加其乘積。通過使用梯形近似積分代替矩形近似積分，可以從另外一方面實作改進。
如何減少噪聲？
等式 2 的導數是問題的第二個來源。在其簡單形式中，該成員往往是噪聲。為了減少噪聲，可以使用兩個以上（例如四個）連續的調節誤差采樣。結果就好像調節誤差的內插補點通過了一個微小的（4 階）有限脈沖響應（FIR）濾波器。修改後的 PID 公式如下等式 3 所示。該差分方程可以在任何程式設計語言和任何微處理器 / 微控制器中實作。
中斷服務程式
盡管如此，關于采樣 / 處理周期 T 還有一個懸而未決的問題。控制過程周期（頻率）是多少，它取決于什麼？控制頻率僅取決于閉環傳遞函數的時間常數。請記住，這個時間常數可以比受控系統本身的時間常數小一個數量級。最佳情況下，運作控制程式的頻率應比閉環時間常數 τ 的值高 5 到 10 倍。在控制過程開始運作之前，應具有 r[n] 和y[n] 的最新樣本。
最好的安排是，如果控制程式被稱為中斷服務例程（ISR），則由提供 y[n] 值的 A/D轉換器觸發。控制程式計算的結果，即執行變量 u[n]，應盡快發送到 D/A 轉換器。否則，受控系統的傳遞函數将受到傳輸延遲的影響，這可能會破壞控制系統（使其不穩定）。
為了避免噪聲，必須徹底過濾所有測量變量，如 y(t)信号，因為噪聲總是可以從外部滲透到控制系統中，例如，由電子部件（主要是開關電源）引起的闆載噪聲。它們應通過适當的抗混疊濾波器，并且截止頻率遠低于采樣頻率 1/T 的一半。如果由于某種原因，它們無法通過适當的模拟濾波器進行過濾，則至少應過采樣并進行數字濾波。
▎圖 2: PID 控制器根據比例、積分和微分分量計算驅動值
關于 PID 控制傳遞函數的更多資訊
等式 3 不是實作離散 PID 控制器的唯一方法。另一種可能性是将 PID 控制傳遞函數從其 s 域（等式 4）轉換為 z 域。實際上，這種轉變有兩種方式。兩者都是從離散時間積分的不同近似推導而來的。最常見的近似離散時間積分是矩形（等式 5）和梯形（等式 6）近似。
如果在 z 域中表達 ，對于矩形近似，您将得到
這是梯形近似的結果 ：
等式 7 和 8 對應于積分項，其在 s 域中表示為 1/s。是以，如果取等式 7 右側的倒數（s），并用其替換等式 4中的每個 s 算子，則會得到 PID 補償的以下傳遞函數（在z 域中）：
類似地，如果取等式 8 右側的倒數，并用其替換等式 4 中的每個 s 算子，則會得到以下 PID 補償的傳遞函數（在 z 域中）：
z 域中的控制系統模組化
等式 9 和等式 10 适用于在 z 域中對控制系統模組化（例如在 Matlab 中），但不能由任何控制器直接實作。然而，在對等式 9 進行 z 逆變換後，您将得到以下等式
和等式 10 的 z 逆變換 ：
等式 11 和等式 12 非常适合在任何微處理器（微控制器）或數字信号處理器上實作。如果将 K1、K2 和 K3作為預先計算好的常數（而不是變量），整個控制過程将需要三次乘法、四次加法并需要記住四個先前計算的變量——兩個調節誤差 e[n-1] 和 e[n-2]，以及兩個驅動變量 u[n-1] 和 u[n-2]（僅适用于等式 12）。e[n] 計算需要一次減法。
無限脈沖響應濾波器
您可以進一步優化控制程式。數字信号處理行業有非常流行的遞歸濾波器，即所謂的無限脈沖響應（IIR）濾波器。通常，它們是級聯二階濾波器。圖 3 顯示了一個這樣的二階濾波器，通常稱為“雙二階”，轉換為其标準形式，即級聯形式 II。
▎圖 3 ：二階規範 IIR 濾波器部分用作 PID 控制器。
實作這種雙二階需要更少的記憶體空間，隻需要記住兩個狀态變量 d[n-1]、d[n-2]，而不是四個變量。标準無限脈沖響應濾波器段由以下兩個差分方程描述 ：
盡管選擇有限，但 A1 和 A2 的值仍然有選擇的餘地。然而，必須遵守兩條規則 ：A1 和 A2 值的總和必須始終為1.0，并且任何值都不能大于 1.0。是以，可以使用的 A1和 A2 系數如，值 1.0 和 0，或 0.5 和 0.5，或 0 和 1.0，或介于兩者之間的任何值。
最後一種組合，其響應與等式 12 的相同。A2 值越低，控制系統響應越快。這可以簡化整定過程，因為您可以将 KI 常數（以及 KP 和 K D 值）設定為某個合理的值，而不是頻繁修改 KI 值（如果您想使 KP 和 K D 值達到最優則需要重新計算，即取消受控系統的極點），例如，将 KI 調整為值 10/(τ1+τ2)（其中 τ1 和 τ2 是受控系統的主要時間常數），并通過調整 A1 和 A2 值完成最終的整定。
并非每個 PID 實作都令人滿意
雖然在必須實作任何算法問題時有一個選擇總是很好的，但并非每個實作都能提供令人滿意的結果。這同樣适用于本文所描述的 PID 控制過程。理論上，所有這些過程在紙面上都很好地工作，但是當實施時，就會出現問題。
雖然第一個公式，等式 3 的實作需要比其餘兩個更多的數學運算（乘法、加法）和記住更多先前的結果，但它提供了非常平滑的結果。等式 11 的行為也類似。然而，等式 12 的實作将無法産生令人滿意的結果，因為它在穩定邊緣上運作，其輸出将永久振蕩。等式13/14 将正常工作，但 A1 系數必須保持 >0，否則的話，其行為将與等式 12 實作完全相同，并産生永久振蕩。
關鍵概念：
■ 檢查在離散時間控制系統中使用 PID的選項。
■ 掌握如何減少噪聲，使用中斷服務例程，以及更多關于 PID 控制傳遞函數的資訊。
思考一下：
為什麼并非所有 PID實作都令人滿意。