《數論概論》讀書筆記(第一章) 什麼是數論？

數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。

整數可以是方程式的解（丢番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關系，并且用有理數來逼近實數（丢番圖逼近）。

按研究方法來看，數論大緻可分為初等數論和高等數論。初等數論是用初等方法研究的數論，它的研究方法本質上說，就是利用整數環的整除性質，主要包括整除理論、同餘理論、連分數理論。高等數論則包括了更為深刻的數學研究工具。它大緻包括代數數論、解析數論、計算數論等等。

初等數論

初等數論主要就是研究整數環的整除理論及同餘理論。此外它也包括了連分數理論和少許不定方程的問題。本質上說，初等數論的研究手段局限在整除性質上。

初等數論中經典的結論包括算術基本定理、歐幾裡得的質數無限證明、中國剩餘定理、歐拉定理（其特例是費馬小定理）、高斯的二次互反律， 勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分數求解法等等。

還有，解析數論，代數數論，幾何數論，計算數論，超越數論，組合數論，算術代數幾何。不作一一解釋了。

猜想：

●哥德巴赫猜想：是否每個大于2的偶數都可寫成兩個質數之和？

●孿生素數猜想：孿生素數就是差為2的素數對，例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數？

●斐波那契數列内是否存在無窮多的素數？

●是否存在無窮多的梅森素數？（指形如2^p－1的正整數，其中指數p是素數，常記為M_p 。若M_p是素數，則稱為梅森素數）

●1995年懷爾斯和理查·泰勒證明了曆時350年的費馬猜想（費馬大定理）。

●黎曼猜想

習題：

1.1，三角平方數：0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025,......

三角平方數通項：

肯定有無窮多個啊。具體看Wiki：​​點選打開連結​​

1.2 1+3+5+....+（2n+1）=n^2.

用幾何圖形來證明？

這樣？

1.3. 

關于形如（p,p+2,p+4）素數三元組的問題。

顯然隻存在一個(3,5,7)。

證明如下：

假設 p mod 3=1。

則(p+2) mod 3=0 不滿足素數條件。

假設p mod 3=2。

則(p+4) mod 3=0不滿足素數條件。

除非本身p+2或p+4或p就是3。

那麼就是(3,5,7)這個情況。

是以顯然隻有一種情況。（3,5,7）。

1.4

顯然，對于N^2-A。當A為平方數時，N^2-A=(N-a)*(N-a)，其中a*a=A.

是以當A是平方數時，N^2-A肯定不是素數。

1.5

1+2+3+4+5+....+n=(1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))+.....=(1+n)+(1+n)+(1+n)+....+(1+n)=n/2*(1+n).

如果是偶數，可以完全比對完，那麼項數就是n/2。

如果是奇數，會留一個，這個數是(n+1)/2。剩下的n+1有(n-1)/2個，那麼再加上這半個，那麼就是n/2個。

是以不管是奇數還是偶數，結果都是n/2個。