波利亞(George Pólya)的一些連結

忽然決定還是要寫個部落格。

第一篇獻給波利亞。

他最有名的應該是《怎樣解題》(How to solve it)這本書了。我認為隻要讀了前面幾頁就能提高普通人解決問題的能力，真的應該列為中學必讀課外書。

後來找到了一個他老人家50多年前的視訊《波利亞教我們的一堂課》，幾年前加上了中文字幕傳到了B站上。除了幾句話（貼在了下面），基本上視訊裡面的内容都能在《怎樣解題》裡找到。那幾句話是：

• 什麼是教學？在我看來，教學是給學生機會，讓他們自己發現一些想法，而不是直接把知識告訴學生。
• 偉大的發現都是由猜測到證明的，課堂上的學生也是這樣學習的。
• 數學看起來是由證明構成的，但是構造中的數學是由猜測構成的。

數學科普書他還寫過不少别的，不過我都沒有好好看過。汗。

然後說一個可能不太有名的。他和舍貴出過一本很難的習題集，名字叫做《數學分析中的問題和定理》。我隻做過當中的第一題（其實也是《怎樣解題》書後的最後的一題。）：

一美元能有多少種不同的兌換方法？就是說，你用一分，五分，十分，四分之一進制，半元（價值分别為1，5，10，25與50分）的五種不同硬币付出100分，能有多少種不同付法？

熟悉動态規劃的同學肯定知道這個怎麼做。不過這是1920年代出版的書，大家可以想想沒有計算機的時候這題是怎麼做的。

我很喜歡這本書前言中的一段，貼在下面作為結束。（手打之前Google了一下，找到了這個和這個。于是直接貼過來，稍微改正了一些錯别字。感謝原作者。）前言的英文也可以在網上找到。

傳授有關知識對我們來說是次要的事情。我們首先要養成讀者的正确态度，加強某些思

維訓練，這些在數學中無疑比在其他科學領域中更為重要。我們不可能詳細地制定最有

效的思維方法的一般規律。即使可能建立這些規律，它們也不會是很有用的。人們不在

于從理論上去熟記這些正确的規律，而應使其滲入自己的血肉以備随時和本能地加以應

用。是以對于培養一個人的思維能力來講，隻有思維訓練才是真正重要的。獨立解決一

些難度高的問題對讀者的幫助遠超過下文提到的一些行之有效的經驗之談，不過在開

始階段照它做并不會帶來什麼壞處。

人們力圖這樣去了解一切：孤立的事實，将它與有關的事物作對照；新的發現，将它與

已熟知的知識相聯系；不習慣的，與習慣的相類比；特殊的結論，加以推廣；一般的結

果，給予适當的特殊化；複雜情況，分解為組成部分；細節，通過概括，獲得全貌。

熟悉一個城市與熟悉一個知識領域有類似之處。一個人必須能從任何的給定地點到達任

何其他地點。如果他能很快選擇一條最友善或最快的路徑從一個地點到另一地點，那

麼他可算是相當熟悉了。如果他是非常熟悉的話，他甚至還能搞出點新花樣，例如進行

一次遠足，自始至終避免走某些平時常走的路----這種事情會發生在一些公理的讨論中。

借零星的認識去構造完美的知識整體與用未經加工的亂石建築一道牆也有類似之處。人

們必須把每個新的認識象對每塊新的石頭那樣翻來覆去地從各方面觀察它，把它試放到

所有可能的位置上去，直至新的東西在已建成的部分中找到它最合适的位置，使得接觸

面盡可能大而裂縫盡可能小，進而形成整個堅固的結構。

直線是由兩點确定的。類似地，許多新的結果是通過在兩個極端情況之間的一類線性插

值的方法得到的。一條直線也可以由一個方向和一個點所确定。新的結果也常可以從一

個值得注意的特殊情況與某人工作方向的巧合中産生出來的。平行引伸也是得到新結果

的有效方法。

一個想法使用一次是一個技巧，經過多次使用就可成為一種方法。在數學歸納法中求證

的結論和為了證明它所能動用的手段是成比例的。它們的比為n+1:1。 是以加強求證的

結論也可能帶來好處，因為與此同時我們也加強了證明過程中可以動用的手段。在其他

場合也會出現這種情況，即較一般的提法比其特殊的結果可能更容易證明；在這種情況

下最重要的成就應該是建立更一般的論述，提煉本質的東西，掌握完整的情況。

“Qui, nimium probat, nihil probat。”（拉丁文原意是“誰檢驗一切命題，誰就什

麼也沒有檢驗。”）不過人們應當帶着懷疑的心情審查每個證明，看看是否所作的假設

在論證中都已用上了。人們應當試圖從較少的假設中得到相同的結論，或者從相同的假

設得到較強的結論，僅當找到了反例表明已達到可能的極限時才應當滿足。

然而人們決不能忘記有兩類推廣：一種是容易取得的，一種是有價值的。一種是用稀釋

的辦法來加以推廣，另一種是用集中的方法來加以推廣。稀釋意味着在大量的水中把肉

煮成淡湯；集中意味着濃縮大量營養物質為精華。在通常的觀點下似乎是互不相關的概

念得到統一便是集中。例如群論濃縮了過去散布于代數、數論、幾何中似乎是非常不同

的概念。用稀釋進行推廣的例子是更容易找到了，不過舉這種例子是很容易傷感情的。

最後，寫完了發現不敢做這本習題集也不是一個正确的态度。