有的幾何定理很好證明，但是，逆定理的證明卻很難。把一個命題的條件和結論對調一下，就是逆命題。如果命題和逆命題都得到了證明，就成為定理了。
等腰三角形的兩條底角平分線相等很好證明，但是反過來，逆定理的證明卻很難。2000多年前，歐幾裡得在《幾何原本》中就給出了這個定理的證明。逆定理，就是施泰納-雷米歐司定理，有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形，是否成立呢？
歐幾裡得心知肚明逆定理是成立的，但是苦于無從下手，在《幾何原本》裡未能證明這個簡單的幾何事實，交了白卷。
到了2000年後，問題迎來轉機。19世紀的數學家雷米歐司（Lehmus）特别指出這是一個看似簡單但難以入手的難題。這個問題的提出，引起了瑞士著名幾何學家施泰納（Steiner）的強烈興趣，他給出了第一個證明。後來，在100多年的時間裡，人們對施泰納-雷米歐司定理給出了上百種證法。
問題的緣起
新概念幾何63頁截圖
如圖所示，已知△ABC是等腰三角形，證明兩條底角平分線BP和CQ相等很容易。隻需證明△APB和△AQC全等就行了。
但是，已知底角平分線BP和CQ相等，證明AB=AC就很難。利用新概念幾何提供的解題工具——共角不等式（廣義共角定理），可以得到一個簡單的證明。具體細節請大家看下面的連結：https://m.toutiao.com/is/FKsKUrN/?=用面積關系解幾何題：獻給七年級學生的（最後一個）兒童節禮物 - 今日頭條
連結裡最後幾張圖是張景中先生的證明的抄錄。
第一個證明
萬事開頭難，第一個證明是困難的，也展現了施泰納的才華橫溢。
1840年，數學家雷米歐司（ Lehmus ）發現命題：兩内角平分線相等的三角形是等腰三角形。很難用純幾何方法證明，于是他寫信給斯特姆（ Sturm )，而斯特姆又将問題提供給一些數學家，第一個給出回答的是瑞士幾何學家施泰納（ Steiner )。故人們将這個問題稱為“施泰納-雷米歐司定理”。
斯坦納的第一個證法，通過幾何旋轉變換，而巧妙地推出結論。
證1：如圖1。設 BD 和 CE 為 △ABC 的角平分線，若∠ B ≠ ∠C ，不妨設 ∠B > ∠C ,則 ∠DBC > ∠ECB , ∠BDC > ∠BEC 。
∴ DC > EB ......（1）
又作△ E'BC≌ △ECB （即旋轉變換），則
∠BDE'= ∠BE'D 、 ∠CDE' > ∠CE'D
∴ CD < CE'=EB ......（2）
(1）與（2）顯然沖突，反之 ∠B < ∠C 也不成立，故有∠B =/∠C . □
自定理提出，就引起歐州數學家的極大興趣，從1840年至1855年期間，至少發現了15種證法，而且在1842、1844、1848、1854-1864年的各種雜志上，有許多文章涉及到這個問題。
顯而易見，直接證法難度更大，于是人們又開始尋求定理簡單的證法。大約于1940年前後，有人基于法國數學家侖巴菲特（ Rebaffet ）的引理“三角形中大角的平分線小些”，利用反證法，給出了一個較簡單的證法。但美中不足的是引理的證法，如同定理一樣困難。進入本世紀中期後，人們對定理的興趣更加濃厚，在60年代的一篇綜合報逍中，指出定理的證法已達60餘種。到了80年代，定理波及到世界各地。
首先，被人們普遍認為最簡單的證法，于1980年前後刊于加拿大的《難題》上，其
簡煉的程度不僅使人驚歎：重要的是其證法，完全可拓廣到非歐幾何中的“施泰納定理”。
意外的驚喜
這個定理肯定會被《數學名題詞典》收錄，于是想到查閱資料。結果不查不知道，查閱有驚喜，真是開卷有益啊！
在詞典中，這個條目稱為“施泰納-萊默斯定理（Staeiner-Lehmus theorem）”。條目由張景中先生和塗榮豹聯合撰寫。
我們來看看詞典提供的漂亮證明。下面的證明是兩個英國工程師G.Gilbert和D.Macdonnell提出，發表于1963年《美國數學月刊》。
通過查閱資料，不僅得到了漂亮的證明，還得到了計算三角形内角平分線的公式。這是一個意外的驚喜，得到的超過了你的期望。
除此之外，還有一個計算公式，請看下圖：
科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。
祝大家端午安康！[呲牙]