作者簡介 /Profile/
作者：胡安·馬爾達西那(Juan Maldacena), 阿根廷理論實體學家，普林斯頓高等研究院教授。譯者：郭圓宏和張思源，分别為中科院理論實體研究所2021和2019級博士研究所學生，導師為楊剛研究員，研究方向為量子場論與弦論。
編者按
譯者們征得馬爾達西那的同意之後，翻譯了他的一篇科普文章 “The symmetry and simplicity of the laws of physics and the Higgs boson” (arXiv:1410.6753)。由于篇幅較長，我們将分三次進行推送，本次是第一部分。
摘要上個世紀50年代到70年代，“自然界的互相作用力來源于對稱性原理”這一思想逐漸發展了起來，實體學家們據此預言了希格斯玻色子的存在，而該粒子随後于2012年被發現。在這篇科普中，我們将通過一個經濟學類比來解釋自然界的這些對稱性。除此之外，還有一個很重要的要素——希格斯機制。這一機制會使關于對稱性的結論更加嚴謹，同時也能揭示基本粒子的許多特性。
1. 童話故事
我們現在對粒子實體的了解就像“美女與野獸”的故事。“美女”像是自然界裡的力：比如電磁力，弱力，強力，萬有引力。它們全都建立在對稱性原理的基礎之上，我們稱其為“規範對稱性”。不過我們也需要“野獸”，即希格斯場。粒子實體中許多神秘之處都包含在希格斯場中（有些人會認為它是“醜陋的”）。但是，對自然的描述中必須同時包含這兩個東西，因為我們是“美女”與“野獸”的“愛情結晶”。
圖 1：粒子實體就像美女和野獸。四大基本作用力是美女，而希格斯場則是野獸。
首先，我們将會通過一些類比來介紹這兩位主要演員：美女（規範對稱性原理）和野獸（希格斯機制）。在以往許多介紹粒子實體的科普文章中，讀者往往會被領着走一段很長的路：從關于世界的日常經驗出發，穿過分子、原子、原子核等等，遵循它們在曆史中被發現順序，逐漸深入這些組成物質的微觀機關。而這篇科普會嘗試一些不一樣的方式，我們會徑直空降到一個現代性的觀點之中——這是一個有着非常簡單規則的仙境。具體來說，這篇科普将圍繞規範對稱性的作用以及粒子實體定律令人驚訝的簡單性來展開。我們知道，描述基本粒子的模型是“标準模型”，而之是以說這些定律簡單到令人吃驚，是因為它們能解釋大多數普遍現象，也能刻畫從宇宙誕生之初一毫秒到現今的宇宙，還能描述除暗物質以外的幾乎所有已知物質。這些對自然界的描述是實體學家們經過艱苦的實驗工作取得的成果，這篇科普中将不作回顧，感興趣的讀者可以閱讀其它粒子實體學方面的科普作品。
2. 對稱性
2.1普通對稱性
圖 2：具有各種對稱性的圖形。(a)正方形在旋轉90度時是對稱的。(b)長方形僅在旋轉180度時對稱。(c)正方形在沿虛線的反射變換下也是對稱的。(d)這個圖形在任何反射變換下都是不對稱的。然而，它在旋轉90度時是對稱的。(e)這個圓可以關于旋轉任何角度對稱。(f)環的對稱性與圓圈相同。(g)這個圖形沒有對稱性。
讓我們先來介紹對稱性這一概念。實體學中的對稱性和我們日常所說的對稱是相同的，它是一種使對象保持不變的變換。例如，一個正方形可以旋轉90度，和旋轉前看起來是一樣的。如果我們有一個長方形，情況就不是這樣了，如圖2所示，長方形需要旋轉180度。當然也可以有一些沒有對稱性的圖形，比如圖2的(g)。圓是非常對稱的，它在繞中心旋轉任意角度後都保持不變。此外，兩個不同的圖形可以具有相同的對稱性。例如，圓和環是不同的圖形，但它們在繞中心旋轉時卻具有完全相同的對稱性。是以說，可能會出現這樣一種情況：我們隻知道物體的對稱性是什麼，而不知道物體具體是什麼。但有時候，隻要知道物體具有的對稱性，便足以預測物體所滿足的性質。例如，一個在旋轉下對稱的剛性物體具有圓的對稱性，那麼無論這個剛性物體是實心圓柱或空心圓柱（或是别的形狀），我們都能預測它可以在桌子上平穩地滾動。當然，在其他方面，空心圓柱體和實心圓柱體的行為可能有所不同。例如，一個可以漂浮在水中，另一個則可能不會。
而我們将要讨論的實體中對稱性是這些我們更熟悉的對稱性的推廣，正是它們決定了自然界中的互相作用力。
2.2電磁學回顧
圖 3：(a)電場沿電場方向對帶電粒子施加力。(b)磁場對運動的帶電粒子施加力，該力與磁場和運動方向垂直。(c)帶電粒子最終圍繞磁場作圓周運動。
在開始讨論之前，讓我們回顧一下有關電磁學的一些知識。我們知道存在電場和磁場，它們可以被認為是每個時空點上的小箭頭，并且這些場會對帶電粒子産生作用，我們也因而感覺到它們的存在。電場會沿着電場方向推動帶電粒子，而磁場則隻作用于運動的電荷。在磁場存在的情況下，運動的電荷會感受到一種垂直于其速度方向的力（洛倫茲力）。是以，如果你是一個帶電粒子，當你沿着垂直磁場的方向向前運動時，會感覺到有一種力量将你推向一側。這時，如果沒有其他的力，那麼你最終會沿着一個圓形軌道運動。于是，帶電粒子在磁場中作圓周運動。整個過程如圖3所示。
這些電場和磁場有自己的動力學，比如産生電磁波。電磁波是電場和磁場互相激勵振蕩的現象，可以在真空中傳播，比如像是無線電波、光、X射線、伽馬射線等等，希望你們對這些都很熟悉。不要驚慌！你不需要知道詳細的方程式就可以了解下面的内容。你所需要知道的隻是：（1）有電場和磁場，它們可以存在于真空中；（2）這些場會作用于帶電粒子并影響它們的運動；（3）電場沿着電場的方向推動帶電粒子；（4）帶電粒子圍繞磁場作圓周運動。
2.3規範對稱性
電磁學可以看作是一種“規範理論”，這是關于電磁學的另一種叙述，在我們希望把這一理論推廣到其它互相作用力和描述電磁學的量子力學版本時，這種叙述非常有用。為了形象地解釋規範對稱性，可以引入一個進行了一些理想化和簡化的經濟學類比。請記住，我們的目标不是解釋現實的經濟世界，而隻是為了解釋真實的實體世界。好消息是，該模型比現實的經濟世界簡單得多，這就是為什麼實體學比經濟學更簡單！
圖 4：每個圓圈都是一個擁有自己貨币的國家，它們由藍色的橋連接配接起來，在每一座橋上都有一家銀行，而每家銀行都有一個獨立的匯率，圖中給出了一些例子。當你過橋時，你應該把所有的錢換成新的貨币。
接下來，我們來介紹這個經濟模型。假設有一些國家，它們各自有自己的貨币。第一個假設是，這些國家排列在一個平坦世界的規則網格上，如圖4所示，每個國家都通過一座橋梁與鄰國相連。而每座橋上都有一家銀行，你需要在銀行換彙，即将原先攜帶的貨币兌換成即将進入的國家的貨币。并且這些銀行都是互相獨立的，沒有一個中央機構協調各國之間的匯率，是以每家銀行都可以自主地以任意方式設定匯率。此外，銀行不收傭金。舉一個例子，假設出發國家的貨币為美元，到達國家的貨币為歐元，且兩國之間橋梁上的銀行設定匯率為1.5美元=1歐元，如圖4所示。如果你有15美元，銀行會在你過境時将其兌換成10歐元。如果你決定回來，你的10歐元将兌換成15美元。是以，如果你去了一個鄰國，然後馬上回來，你隻能兌換回和你出發時一樣多的錢。第二個假設是，你隻能從某個國家出發前往它的鄰國，而不能直接從一個國家飛到另一個不相鄰的國家。總結一下，你隻能從一個國家走到另一個國家，穿過各種橋梁，不斷換彙。最後一個假設是，你在國家之間移動時唯一能帶的東西就是錢，而不能攜帶黃金、白銀或任何其他物品。後文在考慮弱力和希格斯機制時将會放松這個假設，但現在我們僅考慮隻能攜帶錢的情況。 讓我們再來回顧一下這些假設：（1）将國家排列在網格上；（2）每個國家都有自己的貨币；（3）這些國家通過橋梁相連；（4）每座橋上都有一家銀行兌換貨币；（5）銀行可以選擇他們喜歡的任何匯率；（6）銀行沒有傭金；（7）在國家之間移動時隻能攜帶錢。這相當簡單，你所能做的就是每次跨境時在各國之間換彙。 那麼，對稱性在哪裡呢？讓我們來解釋一下，什麼是規範對稱性。想象一下，某一個國家在其貨币面值中積累了太多的零，然後他們希望能去掉這些零。這件事在現實世界中的高通脹國家裡相當普遍。于是，有一天，當地政府決定改變貨币機關，比如現在每個人都需要使用“奧斯特”而不是“比索”（阿根廷使用過的兩種貨币機關）。政府會宣布1000比索現在值1奧斯特，或者說1000比索等于1奧斯特，然後所有價格和匯率都會相應地改變。舉個例子，如圖5所示，如果一根香蕉值5000比索，那麼現在它值5奧斯特；如果你的工資是100萬比索，那麼現在将是1000奧斯特；假設其鄰國是美國并且匯率是3000比索=1美元，那麼現在将是3奧斯特=1美元。我們就将這一貨币機關的改變稱之為“對稱”，因為在這一變換之後，沒有發生什麼真正的改變，沒有人變得更富或更窮，而且這一變化也不會帶來新的獲利機會，這純粹是為了友善。你可以在圖6中的阿根廷鈔票上看到這種“規範對稱性”的作用，之是以我們稱它為“規範”對稱性，因為它是我們用來測量，或者說“規範”各種量值的機關的對稱性。
圖 5：每個國家都可以改變其貨币機關。使用比索的國家将貨币改為奧斯特，使1000比索=1奧斯特。然後所有價格和匯率都會相應變化：比如國内香蕉的價格和該貨币對其鄰國的匯率都會随之變化。
圖 6：規範的對稱性在起作用：現實世界中，從阿根廷比索到奧斯特的變化。
并且，這種對稱性是“局域性”的，這是說每個國家都可以在自己國家内決定進行這種改變，而不會受到鄰國的影響。一些國家可能比其他國家更願意這樣做。在現實世界中，自20世紀60年代以來，阿根廷通過這種“規範對稱性”的各種動作消除了13個零，是以今天的1比索等于20世紀60年代的 比索。然後，我們引入投機者：投機者是在不同國家之間奔波，試圖從換彙中獲利的人，是以他會沿着經濟收益最高的路線旅行。回想一下，根據先前的假設，他必須四處旅行，而不能坐在辦公桌前在電腦上進行交易。 如果你是投機者，你認為自己能在這個世界裡賺錢嗎？想想看，你會以什麼方式做到呢？ 乍一看，你似乎賺不到錢。如果你從一個國家到它的鄰國後就直接回來，由于匯率保持不變，你最終換回的錢是一樣的。然而，如果你途徑更多的國家再回來，你是有可能賺錢的！ 舉個例子，讓我們來考慮三個國家，比如美國、歐洲和阿根廷，以及他們相應的貨币美元、歐元和比索。現在讓我們想象一下，這三個國家之間有橋梁相連，并且匯率如下：1.5美元=1歐元，1美元=10比索，1歐元=10比索。在這種情況下，你能賺錢嗎？在你繼續閱讀之前先想一想，這是值得付出努力的！事實上，可以按如下方式掙錢：從阿根廷出發，本金10比索，然後去歐洲，得到1歐元，再去美國，得到1.5美元，最後回到阿根廷，得到15比索。從阿根廷出發時是10比索，而回到阿根廷時是15比索，那麼該回路的增值為1.5倍，即收益率為50%。如果你出發時攜帶X比索，那麼最終會收獲1.5X比索，該系數與貨币機關無關。比如，如果阿根廷政府将貨币機關從比索變為奧斯特，這條路線的收益仍然是相同的1.5倍。 你可能會認為，是因為銀行愚蠢地設定了“錯誤”的匯率，投機者才得以利用這些漏洞。不過，這正是我們已經闡明的規則。銀行設定他們想要的匯率，随後有些選擇會帶來投機的機會，而有些選擇則不會。投機者的頭腦很簡單，他們隻關心賺錢，他們會選擇賺錢最多的路線。在上述情況下，投機者将先從阿根廷到歐洲，再到美國，最後回到阿根廷，如此循環往複，如同圖7中綠色的路線。
圖 7：三個國家使用各自的貨币，藍色的橋上給出了相應的匯率。沿着綠線所示方向移動就能獲利。并且循環一圈的收益系數是1.5，收益率是50%。
現在，在實體學上，這些國家類似于空間中的點或小區域。整套匯率是整個空間中“磁勢”的一種分布。類似于圖7這種可以賺錢的情形我們稱為磁場。我們可以把收益的多少與磁場聯系起來，投機者則可以當成是電子或其它帶電粒子，在磁場的存在下，它們通過繞圈來賺錢。然後，“沿回路的總收益”就可以和“這一回路所包圍區域的磁場通量”等同起來。現在想象一下，你是一個擁有債務而不是金錢的投機者。在這種情況下，你會沿着相反的方向依次通過這些國家！然後你的債務将以同樣的比例減少。在圖7給出的例子中，通過沿着反方向運動，每循環一圈你的債務将減少三分之一。可以認為負債的情況對應着實體學中的正電子，這是一種與電子相似但電荷性相反的粒子，在磁場中正電子的圓周運動方向與電子相反。 在實體學中，這個關于國家和匯率的故事發生在非常非常微小的空間距離上，比今天所能測量的空間距離要小得多。當我們觀察任何實體系統時，即便那是真空，我們也是從很遠的地方觀察這些國家，是以它們看起來會像是一個連續體，如圖8所示。當一個電子在真空中運動時，它會連續地從一個時空點移動到下一個時空點。在非常微觀的尺度上，它将在不同的國家之間不斷移動，改變它攜帶的貨币，并在這個過程中變得“更富有”。在實體學中，我們不知道時空點是否像先前描述的國家一樣是離散的。然而，規範理論中的計算通常會先假設這些國家是離散的，然後在所有國家彼此非常接近時，将它們看作一個連續體，這就是“連續性極限”。
圖 8：不同規模的國家網格。從左到右，國家在不斷縮小，網格數量在不斷增加。當國家足夠小時，整個網格就可以被視為一個連續體。
電磁學建立在類似的規範對稱性之上。事實上，在時空的每一點上，都有一個圓周旋轉的對稱性。可以簡單想象時空中的每一點都有一個額外的圓，這是一個額外的次元，如圖9(a)所示。位于時空中每個點上的“國家”都可以選擇一種方式，獨立地用這個圓來規定一個角度。更準确地說，一個“國家”都在自己的圓上選擇一個起始點，那麼這個圓上其它點的位置，就可以通過圓心到這個點和到起始點的連線所夾的角度來确定，這就像在經濟模型中選擇貨币機關一樣。在實體學中，我們不知道這個圓是否是真實存在的，也不知道是否真的有一個額外的次元。我們所知道的是，實體上要求的對稱性與額外次元導緻的對稱性是相似的。在實體學中，我們喜歡做盡可能少的假設，額外的次元不是一個必要的假設，隻有對稱性才是。此外，唯一相關的量是磁勢以及相應的磁場，它告訴我們，當從時空中的一個點移動到它的鄰近點時，粒子在額外的圓上的位置是如何變化的。
圖 9：(a)電磁互相作用的對稱性，等價于每個時空點上都有一個圓的結構。黑線相交的地方即每個時空點，相應的圓可以看成一個額外的次元。(b) 電磁互相作用的對稱性，等價于每個時空點上都有一個球體的結構。我們不知道圓或球體是否真的作為額外次元存在，但規範對稱性等價于存在這樣的額外次元。我們隻需要考慮它們的對稱性，以及與額外次元相關的“匯率”
在電磁學中，電場和磁場遵循麥克斯韋方程組。對應到經濟學類比，這相當于對匯率存在要求，這件事可以通過經濟模型直覺地了解。想象一下，如果有一些國家和相應的匯率分布，以及一些帶着錢四處換彙的投機者。假設考慮其中一座特定的橋，會有許多投機者從兩個方向穿過這座橋，這些投機者需要在橋上的銀行換彙。然而，如果一個方向的投機者比另一個方向的投機者多，那麼銀行就可能會耗盡其中一種貨币。例如，考慮銀行位于連接配接阿根廷到美國的橋上，如果想要兌換美元的投機者多于想要兌換比索的投機者，那麼銀行将耗盡美元。如果現實世界中碰到這種情況，銀行将會調整匯率以減少想要兌換美元的投機者的人數。事實上，如果我們假設沿着一個特定回路的投機者人數與他們在這個回路中獲得的收益成正比，那麼我們會發現，銀行不耗盡任何一種貨币的條件，或者說每座橋上的淨資金流為零的條件，會等價于麥克斯韋方程組。
2.4弱互相作用力
讓我們開始讨論弱互相作用力（之後簡稱弱力）。弱力在放射性衰變中發揮着很重要的作用。例如，一個典型的衰變過程是一個原子核外的自由中子會花大約15分鐘的時間，衰變成一個質子、一個電子和一個（反電子）中微子。相比其它發生在微觀時間尺度的反應過程，這真的是一個非常慢的衰變了。雖然弱互相作用和我們的日常生活不是十分相關，但它在宇宙早期演化曆史中扮演着重要角色，盡管這個力不是很強。另外，弱力也在恒星化學元素的嬗變中啟到很大作用。事實上，我們周圍的所有化學元素（除了氫和氦）都是在恒星中被“烹饪”出來的！弱力這個過程中扮演着至關重要的角色。離我們的生活更近些，還可以說是弱力在移動着地殼闆塊、山川海洋！更準确來說，地熱的部分來源是弱力導緻的元素衰變，而正是地熱在移動着陸地、創造着山峰！ 弱力也同樣可以用規範理論來了解。這裡每一個時空點上都有一個球的旋轉對稱性，後面我們把這個球稱為弱球，見圖9(b)。我們其實并不知道弱球是否真實存在，我們隻知道在弱互相作用裡，當從空間中一點移動到另一點時需要明确三個量，這三個量可以當作三個“匯率”（後面我們稱為“弱匯率”）。并且這次我們帶的也不是錢了，而是可以用弱球來定向的一個物體。當我們攜帶着一個在弱球中有定向的物體，從一個國家出發去往鄰國時，會需要根據“弱匯率”去重新定向我們的攜帶的這個東西。值得注意的是，利用弱球進行重新定向需要三個量，需要确定一個旋轉軸（兩個量）和一個圍繞旋轉軸旋轉的角度（第三個量），類似于歐拉角。此時，這三個量會分别對應三種磁場，而不再像電磁力一樣僅僅隻有一種磁場。然後也會有一系列方程用來限制這些磁場和相應的電場的行為，這也和電磁力類似。1954年，楊振甯和米爾斯（Robert L. Mills）首先提出了這些方程，不過遭到泡利（Wolfgang E. Pauli）激烈反對。泡利反對的理由在于，楊-米爾斯理論預言了存在新的無品質粒子，但它們在自然界并沒有被發現。這樣一個醜陋的事實就這樣扼殺了一個如此美麗的理論。
2.5為什麼是無品質粒子？
要想了解泡利反對的理由，先要回顧一下波的一些性質。一個系統中的波可以有不同波長，而波長指的是兩個相鄰的波峰之間的距離。在一個實體系統中，人們通常會關心激發不同波長的波需要消耗多少能量。對于一個給定強度的波來說，激發這個波所需的能量會依賴其波長，随着波長越來越長，其能量消耗會越來減小，而當波長非常非常長的時候，激發所需能量便于這個波對應粒子的品質直接相關。要解釋清楚這一點，要用到著名的質能方程 和德布羅意關系，不過不幸的是，我沒能找到一個很簡潔的方式把這一點解釋清楚，此刻你可以先相信這一結論，然後繼續往下閱讀。在我們的經濟學類比中，目前還沒有談論過能量，可以先假設能量消耗會随着投機者利潤增加而增加。這一假設很符合直覺，因為投機者能賺的越多，銀行就會越艱難！是以，一個波給出的匯率分布産生的利潤越薄，激發這個波消耗的能量也越低。圖10中我們分别給出長波和短波情形所對應的匯率分布。這裡面很重要的一點是，投機者每環遊一圈（圖10中的綠線）賺到的錢來自相鄰匯率的差别，而與匯率本身的高低無關。在這種情況下，波長越長，利潤越薄。随着波長增大，利潤将減小到無利可圖（也就是激發所需能量減小到0），正是這一特征意味着這個波相應的粒子是無品質的，比如對于電磁場而言光子是無品質的。這一論證過程不僅對電磁互相作用成立，對弱互相作用也同樣成立。至少對我們目前讨論的這個版本的弱力來說，這個論證是對的吧……
圖 10：長波較長和短波較長的匯率的例子。波是指這樣的現象：當從左到右移動時，中間的數字會上升或下降。每一條線段都是一家位于兩個國家之間的銀行，而國家位于線段的交叉口，數字則表示按箭頭方向過橋時的匯率。此外，波的總振幅是相同的，而匯率則在1到1.3之間。對于波長較長的情況來說，沿着綠線訓示的最小回路獲得的增益較小。