将整數表示為分數和，可以追溯到3000多年前古埃及中的數學問題，而與之關系密切的古埃及分數，至今仍激發着數學家的好奇心。上世紀80年代，著名數學家埃爾德什·帕爾猜想，任何“足夠大”的整數集合都能通過對其倒數求和最終組合成，1但他并未證明自己提出的猜想。最近，這個延續了40年的猜想得以解決。
撰文 | 張和持
古埃及分數
萊因德紙草書記載的獎有理數表示為分數和 圖檔來源：Alamy Stock Photo
自然密度
尋找解析數論的新方法
不過即便是證明第一問，也并非易事。這種涉及加法的數論研究一般将其稱為加性數論或堆壘數論。這個分支相信許多數學愛好者有所耳聞，因為中國解析數論學派的代表人物華羅庚、陳景潤等人，都在這一方面作出巨大貢獻。華羅庚還寫過《堆壘素數論》一書；大家熟知的哥德巴赫猜想也屬于這一領域。
對于加性數論的大多數問題，常用初等方法乃至代數方法接連失效，剩下能打的就隻有解析數論了。所謂解析數論，就是将數論問題轉化為對某個函數或積分的估計（所謂解析就是分析，即涉及極限，微積分及其衍生産物的學科）。這也是加性數論對外行來說過于抽象的原因：明明是一個數論問題，證明過程卻全是積分和估計式。
埃爾德什和葛立恒的猜想也是如此。埃爾德什于1996年與世長辭，他一生未婚，也沒有兒女；隻留給人類1525篇論文，他也是以成為了發表論文數量最多的數學家。直到生命的盡頭，他都沒有看到自己的猜想得到證明。幾年後的2003年，歐内斯特·克魯特（Ernest S. Croot III）的論文[2]橫空出世，證明了猜想的第一問。值得一提的是，早在2000年，克魯特就在自己的博士論文中證明了這一結論。克魯特引入了強有力的調和分析方法，既優雅又極富技巧性。這讓學術界對這位新星大為期待。
所謂調和（harmonic），在實體中一般翻譯為諧波，這門學科來自于傅立葉的驚人發現——很多周期函數都能分解成三角函數的無窮和，也就是傅裡葉級數。更加神奇的是，傅裡葉級數和傅裡葉積分可以用來估計數論中的一些函數，這就将調和分析和解析數論緊密地聯系在了一起。從那時起，這兩門學科就互相支撐着向前，并在二十世紀現代數學的抽象浪潮下飛速發展。
但面對第二問，克魯特的巧妙方法失效了。不論他如何擺弄現有的工具，都沒辦法取得更多進展。此後，克魯特轉向了其他問題的研究，我們的猜想也在二十年中停滞不前。到了2020年，葛立恒因病去世，他也沒有能夠看到猜想的解決。
轉機發生在2021年。九月的一天，牛津大學的博士後托馬斯·布魯姆（Thomas Bloom）接到了一項任務，給他們的讨論組講解二十年前克魯特的論文。在準備的過程中，布魯姆突然靈感乍現——克魯特的方法并沒有走到盡頭！他馬上着手這項工作。
在這二十年中，雖然猜想并沒有進展，但調和分析等前沿數學并沒有止步不前。現在，布魯姆的手上掌握了更多工具。他采用更先進的組合數論/解析數論技術，改進了克魯特的方法，最終在幾個月内完成了證明。
參考文獻
[1] Erdős, P. and Graham, R. L.: Old and new problems and results in combinatorial number theory. Enseign. Math. 30-44 (1980)
[2] Croot, Ernest S., III (2003). "On a coloring conjecture about unit fractions". Annals of Mathematics. 157 (2): 545–556. arXiv:math.NT/0311421. doi:10.4007/annals.2003.157.545. MR 1973054.
[3] Cepelewicz, Jordana (2022-03-09). "Math's 'Oldest Problem Ever' Gets a New Answer". Quanta Magazine. Retrieved 2022-03-09.
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