洛谷P1973 [NOI2011]Noi嘉年華（動态規劃，決策單調性）

洛谷題目傳送門

DP題怕是都要大大的腦洞。。。。。。

首先，時間那麼大沒用，直接離散化。

第一問還好。根據題意容易發現，當一堆活動的時間有大量重疊的時候，更好的辦法是把它們全部安排到一邊去。那麼我們轉移的時候也肯定是要一塊一塊地轉移啦。

設\(tot_{l,r}\)為完全被包含在\(l-r\)時間内活動總數，直接\(O(n^3)\)暴力求就好了。

設\(pre_{i,j}\)為時間\(1-i\)内一邊選\(j\)個時，另一邊能選的最大值。枚舉一塊轉移的話，我們的方程應該寫成這樣：

\[pre_ {i,j}=\max\limits_{k=1}^i\{pre_ {k,j}+tot_{k,i},pre _{k,j-tot _{k,i}}\}

\]

（顯然兩種情況都要考慮）

然後答案就是\(\max\limits_{j=1}^n\{\min(pre_{m,j},j)\}\)啦（\(m\)為離散化後的時間總長，不會超過\(2n\)）

這個數組為什麼要叫\(pre\)呢？這是個字首DP值。為了第二問，我們還要做個字尾DP，\(suf_{i,j}\)表示時間\(i-m\)内一邊選\(j\)個時，另一邊能選的最大值，跟\(pre\)幾乎一樣的轉移，也是\(O(n^3)\)的。

對于第二問，我們顯然可以肯定\(s_i-t_i\)之内的活動都被一邊選走了。至于\(s_i\)之前和\(t_i\)以後選了多少，我們也隻好枚舉。設\(f_{l,r}\)為一邊強制選\(l-r\)之間所有活動時最優的最小值，假定這一邊在前面選了\(x\)個，在後面選了\(y\)個，另一邊最多能選多少也就知道了，有方程

\[f_{l,r}=\max\limits_{x=1}^m\max\limits_{y=1}^m\{\min(x+tot_{l,r}+y,pre_{l,x}+suf_{r,y})\}

然後第\(i\)個的答案就是\(f_{s_i,t_i}\)麼？注意千萬别掉入這個誤區！\(pre\)和\(suf\)隻是保證了局部最優，而沒有保證全局最優。要說人話的話，就是可能有一個活動跨過了\(s_i\)，然而\(f_{s_i,t_i}\)并沒有統計到它，隻有擴大強制選的區間使得能夠包含它，才能統計到最優解。于是需要枚舉強制選區間了，\(ans_i=\max\limits_{l=1}^{s_i}\max\limits_{r=t_i}^m\{f_{l,r}\}\)

這樣的話，整個\(f\)都必須要算出來，上面的枚舉算法就變成\(O(n^4)\)了，跑不動。

點開标簽發現有單調隊列？！蒟蒻就往單調性上面想了想，于是就有了一個結論：設枚舉\(x\)時有一個使答案最優的\(y\)，那麼當\(x\)增大時，如果\(y\)也增大那麼答案不會更優。觀察上面那個式子\(\min(x+tot_{l,r}+y,pre_{l,x}+suf_{r,y})\)，那麼因為\(pre,suf\)都是遞減的，是以很顯然我們不能讓\(x,y\)變大而\(pre,suf\)變小。

于是，實作的時候，隻要把\(y\)從大往小掃了，并不需要什麼單調隊列來維護它。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define RG register
#define R RG int
#define G c=getchar()
#define Upd(A,L,R)     {chkmx(A[i][j],A[k][j]+tot[L][R]);	\
		if(j>=tot[L][R])chkmx(A[i][j],A[k][j-tot[L][R]]);}
#define Calc(y) min(x+tot[l][r]+y,pre[l][x]+suf[r][y])
using namespace std;
const int N=209,M=409,INF=1e9;
int s[N],t[N],b[M],tot[M][M],pre[M][N],suf[M][N],f[M][M];
inline int in(){
	RG char G;
	while(c<'-')G;
	R x=c&15;G;
	while(c>'-')x=x*10+(c&15),G;
	return x;
}
inline int min(R x,R y){return x<y?x:y;}
inline void chkmx(R&x,R y){if(x<y)x=y;}
int main(){
	R n=in(),m=0,i,j,k,l,r,x,y,p0,p1,ans;
	for(i=1;i<=n;++i){
		b[++m]=s[i]=in();
		b[++m]=t[i]=in()+s[i];
	}
	sort(b+1,b+m+1);//離散化
	m=unique(b+1,b+m+1)-b-1;
	for(i=1;i<=n;++i){
		s[i]=lower_bound(b+1,b+m+1,s[i])-b;
		t[i]=lower_bound(b+1,b+m+1,t[i])-b;
		for(l=1;l<=s[i];++l)//tot暴力求
			for(r=m;r>=t[i];--r)++tot[l][r];
	}
	for(i=1;i<=m;++i)//注意初始化
		for(j=1;j<=n;++j)pre[i][j]=suf[i][j]=-INF;
	for(i=1;i<=m;++i)
		for(j=0;j<=tot[1][i];++j)
			for(k=1;k<=i;++k)Upd(pre,k,i);
	for(i=m;i;--i)//轉移很相似，搞了個宏定義
		for(j=0;j<=tot[i][m];++j)
			for(k=i;k<=m;++k)Upd(suf,i,k);
	for(l=1;l<=m;++l)
		for(r=l+1;r<=m;++r)
			for(y=n,x=0;x<=n;++x){
				p0=Calc(y);//p0為最優決策，p1為目前決策
				while(y&&p0<=(p1=Calc(y-1)))p0=p1,--y;
				chkmx(f[l][r],Calc(y));
			}
	ans=0;
	for(j=1;j<=n;++j)chkmx(ans,min(pre[m][j],j));
	printf("%d\n",ans);
	for(i=1;i<=n;++i){
		ans=0;
		for(l=1;l<=s[i];++l)
			for(r=m;r>=t[i];--r)chkmx(ans,f[l][r]);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}