皮爾遜相關系數與餘弦相似度（Pearson Correlation Coefficient & Cosine Similarity）

之前《皮爾遜相關系數（Pearson Correlation Coefficient, Pearson's r）》一文介紹了皮爾遜相關系數。那麼，皮爾遜相關系數（Pearson Correlation Coefficient）和餘弦相似度（Cosine Similarity）之間有什麼關聯呢？

首先，我們來看一下什麼是餘弦相似度。說到餘弦相似度，就要用到餘弦定理（Law of Cosine）。

假設兩個向量

和

之間的夾角為

。

，

向量的長度分别是

對應的邊長為向量

減去向量

的長度，也就是

根據餘弦定理：

對上式進行推導：

這樣最終可以得到：

就是餘弦相似度，取值在-1和1之間。如果兩個向量方向相反，那麼

等于-1；如果兩個向量方向相同，那麼

等于1。可以看出，兩個向量之間的夾角越小，其夾角餘弦越大（越相似）。是以餘弦相似度可以用來度量兩個變量之間的相似程度。

上面針對的是二維空間，

(x1,y1)，

(x2,y2)兩個向量之間的夾角餘弦為：

擴充到n維空間，

(x1,x2,...,xn)，

(y1,y2,...,yn)兩個向量之間的夾角餘弦就是：

如果對上式資料做标準化處理：

夾角餘弦公式就會變為：

對比皮爾遜相關系數的公式：

這兩者不是完全一樣嗎？

是以，我們得到結論：皮爾遜相關系數就是把兩組資料标準化處理之後的向量夾角的餘弦。