上篇文章 洗牌算法詳解 講到了驗證機率算法的蒙特卡羅方法，今天聊點輕松的内容：幾個和機率相關的有趣問題。
計算機率有下面兩個最簡單的原則：
原則一、計算機率一定要有一個參照系，稱作「樣本空間」，即随機事件可能出現的所有結果。事件 A 發生的機率 = A 包含的樣本點 / 樣本空間的樣本總數。
原則二、計算機率一定要明白，機率是一個連續的整體，不可以把連續的機率分割開，也就是所謂的條件機率。
上述兩個原則高中就學過，但是我們還是很容易犯錯，而且犯錯的流程也有異曲同工之妙：
先是忽略了原則二，錯誤地計算了樣本空間，然後通過原則一算出了錯誤的答案。
下面介紹幾個簡單卻具有迷惑性的問題，分别是男孩女孩問題、生日悖論、三門問題。當然，三門問題可能是大家最耳熟的，是以就多說一些有趣的思考。
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一、男孩女孩問題
假設有一個家庭，有兩個孩子，現在告訴你其中有一個男孩，請問另一個也是男孩的機率是多少？
很多人，包括我在内，不假思索地回答：1/2 啊，因為另一個孩子要麼是男孩，要麼是女孩，而且機率相等呀。但是實際上，答案是 1/3。
上述思想為什麼錯誤呢？因為沒有正确計算樣本空間，導緻原則一計算錯誤。有兩個孩子，那麼樣本空間為 4，即哥哥妹妹，哥哥弟弟，姐姐妹妹，姐姐弟弟這四種情況。已知有一個男孩，那麼排除姐姐妹妹這種情況，是以樣本空間變成 3。另一個孩子也是男孩隻有哥哥弟弟這 1 種情況，是以機率為 1/3。
為什麼計算樣本空間會出錯呢？因為我們忽略了條件機率，即混淆了下面兩個問題：
這個家庭隻有一個孩子，這個孩子是男孩的機率是多少？
這個家庭有兩個孩子，其中一個是男孩，另一個孩子是男孩的機率是多少？
根據原則二，機率問題是連續的，不可以把上述兩個問題混淆。第二個問題需要用條件機率，即求一個孩子是男孩的條件下，另一個也是男孩的機率。運用條件機率的公式也很好算，就不多說了。
通過這個問題，讀者應該了解兩個機率計算原則的關系了，最具有迷惑性的就是條件機率的忽視。為了不要被迷惑，最簡單的辦法就是把所有可能結果窮舉出來。
最後，對于此問題我見過一個很奇葩的質疑：如果這兩個孩子是雙胞胎，不存在年齡上的差異怎麼辦？
我竟然覺得有那麼一絲道理！但其實，我們隻是通過年齡差異來表示兩個孩子的獨立性，也就是說即便兩個孩子同性，也有兩種可能。是以不要用雙胞胎擡杠了。
二、生日悖論
生日悖論是由這樣一個問題引出的：一個屋子裡需要有多少人，才能使得存在至少兩個人生日是同一天的機率達到 50%？
答案是 23 個人，也就是說房子裡如果有 23 個人，那麼就有 50% 的機率會存在兩個人生日相同。這個結論看起來不可思議，是以被稱為悖論。按照直覺，要得到 50% 的機率，起碼得有 183 個人吧，因為一年有 365 天呀？其實不是的，覺得這個結論不可思議主要有兩個思維誤區：
第一個誤區是誤解「存在」這個詞的含義。
讀者可能認為，如果 23 個人中出現相同生日的機率就能達到 50%，是不是意味着：
假設現在屋子裡坐着 22 個人，然後我走進去，那麼有 50% 的機率我可以找到一個人和我生日相同。但這怎麼可能呢？
并不是的，你這種想法是以自我為中心，而題目的機率是在描述整體。也就是說「存在」的含義是指 23 人中的任意兩個人，涉及排列組合，大機率和你沒啥關系。
如果你非要計算存在和自己生日相同的人的機率是多少，可以這樣計算：
1 - P(22 個人都和我的生日不同) = 1 -(364/365)^22 = 0.06
這樣計算得到的結果是不是看起來合理多了？生日悖論計算對象的不是某一個人，而是一個整體，其中包含了所有人的排列組合，它們的機率之和當然會大得多。
第二個誤區是認為機率是線性變化的。
讀者可能認為，如果 23 個人中出現相同生日的機率就能達到 50%，是不是意味着 46 個人的機率就能達到 100%？
不是的，就像中獎率 50% 的遊戲，你玩兩次的中獎率就是 100% 嗎？顯然不是，你玩兩次的中獎率是 75%：
P(兩次能中獎) = P(第一次就中了) + P(第一次沒中但第二次中了) = 1/2 + 1/2*1/2 = 75%
那麼換到生日悖論也是一個道理，機率不是簡單疊加，而要考慮一個連續的過程，是以這個結論并沒有什麼不合常理之處。
那為什麼隻要 23 個人出現相同生日的機率就能大于 50% 了呢？我們先計算 23 個人生日都唯一（不重複）的機率。隻有 1 個人的時候，生日唯一的機率是
365/365
，2 個人時，生日唯一的機率是
365/365 × 364/365
，以此類推可知 23 人的生日都唯一的機率：
算出來大約是 0.493，是以存在相同生日的機率就是 0.507，差不多就是 50% 了。實際上，按照這個算法，當人數達到 70 時，存在兩個人生日相同的機率就上升到了 99.9%，基本可以認為是 100% 了。是以從機率上說，一個幾十人的小團體中存在生日相同的人真沒啥稀奇的。
三、三門問題
這個遊戲很經典了：遊戲參與者面對三扇門，其中兩扇門後面是山羊，一扇門後面是跑車。參與者隻要随便選一扇門，門後面的東西就歸他（跑車的價值當然更大）。但是主持人決定幫一下參與者：在他選擇之後，先不急着打開這扇門，而是由主持人打開剩下兩扇門中的一扇，展示其中的山羊（主持人知道每扇門後面是什麼），然後給參與者一次換門的機會，此時參與者應該換門還是不換門呢？
為了防止第一次看到這個問題的讀者迷惑，再具體描述一下這個問題：
你是遊戲參與者，現在有門 1,2,3，假設你随機選擇了門 1，然後主持人打開了門 3 告訴你那後面是山羊。現在，你是堅持你最初的選擇門 1，還是選擇換成門 2 呢？
答案是應該換門，換門之後抽到跑車的機率是 2/3，不換的話是 1/3。又一次反直覺，感覺換不換的中獎機率應該都一樣啊，因為最後肯定就剩兩個門，一個是羊，一個是跑車，這是事實，是以不管選哪個的機率不都是 1/2 嗎？
類似前面說的男孩女孩問題，最簡單穩妥的方法就是把所有可能結果窮舉出來：
很容易看到選擇換門中獎的機率是 2/3，不換的話是 1/3。
關于這個問題還有更簡單的方法：主持人開門實際上在「濃縮」機率。一開始你選擇到跑車的機率當然是 1/3，剩下兩個門中包含跑車的機率當然是 2/3，這沒啥可說的。但是主持人幫你排除了一個含有山羊的門，相當于把那 2/3 的機率濃縮到了剩下的這一扇門上。那麼，你說你是抱着原來那扇 1/3 的門，還是換成那扇經過「濃縮」的 2/3 機率的門呢？
再直覺一點，假設你三選一，剩下 2 扇門，再給你加入 98 扇裝山羊的門，把這 100 扇門随機打亂，問你換不換？肯定不換對吧，這明擺着把機率稀釋了，肯定抱着原來的那扇門是最可能中跑車的。再假設，初始有 100 扇門，你選了一扇，然後主持人在剩下 99 扇門中幫你排除 98 個山羊，問你換不換一扇門？肯定換對吧，你手上那扇門是 1%，另一扇門是 99%，或者也可以這樣了解，不換隻是選擇了 1 扇門，換門相當于選擇了 99 扇門，這樣結果很明顯了吧？
以上思想，也許有的讀者都思考過，下面我們思考這樣一個問題：假設你在決定是否換門的時候，小明破門而入，要求幫你做出選擇。他完全不知道之前發生的事，他隻知道面前有兩扇門，一扇是跑車一扇是山羊，那麼他抽中跑車的機率是多大？
當然是 1/2，這也是很多人做錯三門問題的根本原因。類似生日悖論，人們總是容易以自我為中心，通過這個小明的視角來計算是否換門，這顯然會進入誤區。
就好比有兩個箱子，一号箱子有 4 個黑球 2 個紅球，二号箱子有 2 個黑球 4 個紅球，随便選一個箱子，随便摸一個球，問你摸出紅球的機率。
對于不知情的小明，他會随機選擇一個箱子，随機摸球，摸到紅球的機率是：1/2 × 2/6 + 1/2 × 4/6 = 1/2
對于知情的你，你知道在二号箱子摸球機率大，是以隻在二号箱摸，摸到紅球的機率是：0 × 2/6 + 1 × 4/6 = 2/3
三門問題是有指導意義的。比如你蒙選擇題，先蒙了 A，後來靈機一動排除了 B 和 C，請問你是否要把 A 換成 D？答案是，換！
也許讀者會問，如果隻排除了一個答案，比如說 B，那麼我是否應該把 A 換成 C 或者 D 呢？答案是，換！