就是要講GIS裡的坐标系！
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B站/部落格園/CSDN/知乎：@秋意正寒
很開心能躍居百度關鍵詞“GIS 坐标系”第一位。
已重寫本篇，希望讀者們移步：
[聊聊GIS中的坐标系|再版]
從第一次上地圖學的課開始，對GIS最基本的地圖坐标系統就很迷。也難怪，我那時候并不是GIS專業的學生，僅僅是一門開卷考試的專業選修課，就沒怎麼在意。
等我真正接觸到了各種空間資料産品，我才知道萬裡長征第一步就是：處理坐标系統。
想必各位從業人員多多少少都會聽說過幾個名詞，可能有那麼點印象吧。比如，高斯克呂格，北京54，西安80，WGS84，投影坐标系統等等。
今天就從頭說起，講講那些坐标系統的事情。
慣例，給個目錄：
- 經緯度與GCS（Geographic Coordinate System, 地理坐标系統）
- 平面坐标與PCS（Projection Coordinate System, 投影坐标系統）
- GCS和PCS的轉化問題（三參數與七參數問題）
- 火星坐标問題
- 在第一部分，我介紹一下以經緯度為準的地理坐标系統，也順帶提及一下我國的高程坐标系。主要涉及的内容有：大地水準面問題，橢球問題，常見的GCS（如北京54，西安80，CGCS2000，WGS84等），讓大家看到GIS資料中的GCS馬上就能知道這是什麼東西。
- 在第二部分，我介紹一下以平面直角坐标系為量度的投影坐标系統。主要涉及的内容有：PCS與GCS的關系，我國常見的PCS（高斯克呂格、蘭伯特/Lambert、阿爾伯斯Albers、墨卡托Mercator、通用橫軸墨卡托UTM、網絡墨卡托Web Mercator）。
- 在第三部分，是實際操作過程中遇到的種種問題，如投影不對會出現什麼情況、如何轉換GCS、如何切換PCS（重投影問題）等問題，涉及一些數學轉換的思維，需要有一定的空間想象能力。
- 在第四部分，我簡單介紹一下所謂的火星坐标。
那麼我們開始吧！
1. 經緯度與GCS
天氣預報也好，火箭發射也罷，地震、火山等事故發生時，電視台總會說東經XX度，北緯YY度。這個經緯度中學地理就學過了，我就不細說了。
我從如何描述地球說起。
1.1 凹凸不平的地球
誰都知道地球表面不平坦，它甚至大概形狀都不是一個正球體，是一個南北兩極稍扁赤道略胖的胖子，胖度大概是20km，在外太空幾乎看不出來的，這也可能和星球長期受到潮汐引力、太陽引力以及自身旋轉的向心力有關。這裡不是地球科學，就不再深究了。
為了能讓地球出現在數學家的公式裡，我們曾經走過了2個階段：用平靜的海面描述地球——用虛拟的旋轉橢球面描述地球表面。
這裡也不是地圖學，再深入下去其實還有似大地水準面等概念。就挑重點講。
“假設地球表面都是水，當海平面風平浪靜沒有波瀾起伏時，這個面就是大地水準面。”大家應該知道，在太空失重的環境下，水相對靜止狀态是個正球體，那麼肯定很多人就認為，大地水準面就是個正球面。不是的，還需要考慮一個問題：地球各處的引力不同。引力不同，就會那兒高一些，這兒低一些，盡管這些微小的差距肉眼難以觀測出來，可能隔了好幾千米才會相差幾厘米。是以，在局部可能看起來是個球面，但是整體卻不是。顯然，用大地水準面來進行數學計算，顯然是不合适的，至少在數學家眼中，認為這不可靠。
是以找到一個旋轉橢球面就成了地理學家和數學家的問題。（注意區分橢球面和旋轉橢球面這兩個數學概念，在GCS中都是旋轉橢球面）
給出旋轉橢球面的标準方程：
(x2+y2)/a2+z2/b2=1
其中x和y的參數相同，均為a，這就代表一個繞z軸旋轉的橢圓形成的橢球體。不妨設z軸是地球自轉軸，那麼這個方程就如下圖是一個橢球體，其中赤道是個圓。
這樣，有了标準的數學表達式，把資料代入公式計算也就不是什麼難事了。
由此我們可以下定義，GIS坐标系中的橢球，如果加上高程系，在其内涵上就是GCS（地理坐标系統）。其度量機關就是度分秒。
描述一個旋轉橢球面所需的參數是方程中的a和b，a即赤道半徑，b即極半徑，f=(a-b)/a稱為扁率。
與之對應的還有一個問題：就是坐标中心的問題。（地球的中心在哪裡？）
【注】十九世紀發現赤道也是一個橢圓，故地球實際應以普通橢球面表示，但是由于各種原因以及可以忽略的精度内，一直沿用旋轉橢球體作為GCS。
1.2 參心坐标系、地心坐标系
上過中學實體的人知道，物體均有其質心，處處密度相等的物體的質心在其幾何中心。是以，地球隻有一個質心，隻是測不測的精确的問題而已。由地球的唯一性和客觀存在，以地球質心為旋轉橢球面的中心的坐标系，叫地心坐标系，且唯一。當然，由于a、b兩個值的不同，就有多種表達方式，例如，CGCS2000系，WGS84系等，這些後面再談。
【注】地心坐标系又名協定地球坐标系，與GPS中的瞬時地球坐标系要對應起來。
但是又有一個問題——政治問題，地圖是給一個國家服務的，那麼這地圖就要盡可能描述準确這個國家的地形地貌，盡量減小誤差，至于别國就無所謂。
是以，就可以人為的把地球的質心“移走”，将局部的表面“貼到”該國的國土，使之高程誤差盡量減小到最小。
這個時候，就出現了所謂的“參心坐标系”。即橢球中心不在地球質心的坐标系。如下圖：
綠色的球就是為了貼合赤道某個地方而産生了平移的參心系（這裡隻是個例子，而且畫的有點誇張）。
我國常用的參心系及對應橢球：
- 北京54坐标系：克拉索夫斯基橢球體
- 西安80坐标系：IAG75橢球體
我國常用的地心系及對應橢球：
- WGS84坐标系：WGS84橢球體（GPS星曆的坐标系，全球統一使用，最新版于2002年修正）
- CGCS2000坐标系：CGCS2000橢球體（事實上，CGCS2000橢球和WGS84橢球極為相似，偏差僅有0.11mm，完全可以相容使用）
為什麼CGCS2000和WGS84要略微有些偏差？這是因為WGS84系是GPS的坐标系，而我國北鬥定位則是需要自己的坐标系，就搞了一波CGCS2000。
這幾個坐标系的介紹放在下一節，而這些橢球體的轉換将在第三部分介紹（主要就是數學中，空間直角坐标系旋轉的問題）。
1.3 我國常見GCS
借助以下4個常見坐标系及橢球體，就可以推及到世界各地不同的GCS及橢球體，完成資料的轉化問題。
1.3.1 北京54坐标系（參心）
新中國成立以後，我國大地測量進入了全面發展時期，再全國範圍内開展了正規的，全面的大地測量和測圖工作，迫切需要建立一個參心大地坐标系。由于當時的“一邊倒”政治趨向，故我國采用了前蘇聯的克拉索夫斯基橢球參數，并與前蘇聯1942年坐标系進行聯測，通過計算建立了我國大地坐标系，定名為1954年北京坐标系。是以，1954年北京坐标系可以認為是前蘇聯1942年坐标系的延伸。它的原點不在北京而是在前蘇聯的普爾科沃。
- 橢球體：Krasovsky橢球
- 極半徑b=6 356 863.0187730473 m
- 赤道半徑a=6 378 245m
- 扁率=1/298.3
- 高程系：56黃海系
1.3.2 西安80坐标系（參心）
改革開放啦，國家商量要搞一個更符合國用的坐标系——西安80坐标系，該坐标系的大地原點設在我國中部的陝西省泾陽縣永樂鎮，位于西安市西北方向約60公裡。
- 橢球體：IAG橢球（全名是啥還得去翻翻課本。。。）
- 極半徑b=6 356 755m
- 赤道半徑a=6 378 140m
- 扁率=1/298.25722101
- 高程系：85黃海系
1.3.3 WGS84坐标系（地心）
全稱World Geodetic System - 1984，是為了解決GPS定位而産生的全球統一的一個坐标系。
- 橢球體：WGS84橢球
- 極半徑b=6 356 752.314 245 179 5m
- 赤道半徑a=6 378 137 m
- 扁率=1/298.257223563
- 高程系：？根據國家需求定？
1.3.4 CGCS2000坐标系（地心）
2000國家大地坐标系是全球地心坐标系在我國的具體展現，其全稱為China Geodetic Coordinate System 2000，其原點為包括海洋和大氣的整個地球的品質中心。
- 橢球體：CGCS2000坐标系
- 極半徑b=6 356 752.314 140 355 8m
- 赤道半徑a=6 378 137m
- 扁率=1/298.257222101
【注】CGCS2000的定義與WGS84實質一樣。采用的參考橢球非常接近。扁率差異引起橢球面上的緯度和高度變化最大達0.1mm。目前測量精度範圍内，可以忽略這點差異。可以說兩者相容至cm級水準
最後一張表總結一下：
有趣的是，在ArcGIS的GCS檔案夾下，找到了一個“新北京54坐标系”，這是為了使54和80之間友善轉化而産生的一個過渡坐标系。
2. 平面坐标與PCS
說完了以經緯度為計量機關的GCS，那麼我再來說說以平面（空間）直角坐标系為度量衡的投影坐标系（PCS，Projection Coordinate System）。
說一個具體的問題以解釋為什麼要用PCS。
如何用經緯度表達一塊地的面積？
這沒辦法吧？經緯度本身不帶機關，度分秒僅僅是一個進制。
而且同樣是1度經度，在不同的緯度時代表的弧段長是不一樣的。
這就給一些地理問題帶來了困惑：如何建立一個新的坐标系使得地圖分析、空間分析得以定量計算？
PCS——投影坐标系就誕生了。
我要着重介紹一下我國的6種常用投影方式：
- 高斯克呂格（Gauss Kruger）投影=橫軸墨卡托（Transverse Mercator）投影
- 墨卡托（Mercator）投影
- 通用橫軸墨卡托（UTM）投影
- Lambert投影
- Albers投影
- Web Mercator（網絡墨卡托）投影
很多課本、部落格都寫的很詳細了，我想從3D的圖形來描述一下他們是怎麼個投影的。
2.1 從投影說起
如上圖。光線打到物體上，使得物體産生的陰影形狀，就叫它的投影。這個不難了解。
這裡我想問一個問題：既然投影物體，是不變的，那麼我把投影的平面改為曲面呢？
這就産生了不同的投影，比如投射到一個圓錐面上，一個圓柱面上，一個平面上...等等。
不同的投影方式有不同的用途，也有了不同的投影名稱。
但是，PCS是基于存在的GCS的，這個直接規定。沒有GCS，就無從談PCS，PCS是GCS上的地物投射到具體投影面的一種結果。
即：
PCS=GCS+投影方式
2.2 我國常見投影
2.2.1 高斯克呂格投影/橫軸墨卡托投影
英文名Gauss Kruger。在一些奇奇怪怪的原因中，又名橫軸墨卡托投影，英文名Transverse Mercator。
它的投影面是橢圓柱面，假設橢圓柱躺着，和地軸垂直，而且投影面與之相切，就是橫軸墨卡托了。
中央那條黑線就是投影中心線，與橢圓柱面相切。這條線逢360°的因數就可以取，一般多用3度帶、6度帶。
就是說，這個投影橢圓柱面可以繼續繞着地軸繼續轉，圖中還有一條經線，兩條相差6度。
橢圓柱面旋轉6度，繼續投影，直到360/6=60個投影帶投影完畢。
注意3度帶和6度帶的起算經線不同，以及Y方向（赤道方向）前需要加投影帶号。
高斯克呂格已經廣為熟知了，我就不作具體介紹，大家可以找比我解釋的更好的，我隻是擺個圖希望大家看的更仔細。
這個投影的特點是，等角/橫/切橢圓柱/投影。
即
- 投影後的地圖，角度不變，面積有變。離中央經線越遠的地區，面積變化越大。此投影合适用于導航。
- 投影橢圓柱面是橫着的；
- 投影橢圓柱面與橢球體相切。
适用比例尺：1：2.5萬~1：100萬等使用6度分帶法；1：5000~1：10000使用3度分帶法。
【注】在ArcGIS中，不同的GCS的PCS是不同的，以CGCS2000、西安80和北京54為例：
CGCS2000_3_Degree_GK_CM_111E：CGCS2000的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，以中央經線為東經111度的投影帶的投影坐标系
CGCS2000_3_Degree_GK_Zone_30：CGCS2000的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，第30個投影帶的投影坐标系
Beijing_1954_3_Degree_GK_CM_111E：北京54的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，以中央經線為東經111度的投影帶的投影坐标系
Beijing_1954_3_Degree_GK_Zone_35：北京54的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，第35個投影帶的投影坐标系
Xian_1980_3_Degree_GK_CM_111E：西安80的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，以中央經線為東經111度的投影帶的投影坐标系
Xian_1980_3_Degree_GK_Zone_34：西安80的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，第34個投影帶的投影坐标系
不難發現，都是以GCS起頭的命名法。
2.2.2 墨卡托投影
英文名Mercator投影。
數學上，投影面是一個橢圓柱面，并且與地軸（地球自轉軸）方向一緻，故名：“正軸等角切/割圓柱投影”。
既可以切圓柱，也可以割圓柱。
其實就是高斯克呂格的圓柱面豎起來。
2.2.3 通用橫軸墨卡托投影（UTM投影）
英文全稱Universal Transverse Mercator。是一種“橫軸等角割圓柱投影”
和高斯克呂格類似，高斯克呂格的投影面是與橢球面相切的，這貨與橢球面相割。
實質上
- UTM投影=0.9996高斯投影
其餘性質都和高斯克呂格投影一樣。
割于緯度80°S和84°N。中央經線投影後，是原長度的0.9996倍。
不過，起算投影帶是180°經線，174°W則是第二個投影帶的起算經線。
由于有以上優點，UTM投影被許多國家和地區采用，作為大地測量和地形測量的投影基礎。
【注】UTM投影是我國各種遙感影像的常用投影。
【注2】UTM投影在ArcGIS中的定義
例如：
WGS_1984_UTM_Zone_50N，就代表WGS1984的GCS下，進行UTM投影，投影帶是50N.
WGS_1984_Complex_UTM_Zone_25N，就代表WGS1984的GCS下，進行3度分帶UTM投影，投影帶是25N.
2.2.4 Lambert投影
中文名蘭伯特投影、蘭博特投影。
我國地形圖常用投影，比如1：400萬基礎資料：
（GCS是北京54）可以看到授權是自定義，說明這個投影是自定義的，沒有被官方收錄。等到第三部分再說怎麼自定義投影。
我國的基本比例尺地形圖(1:5千，1:1萬，1:2.5萬，1:5萬，1:10萬，1:25萬，1:50萬，1:100萬)中，1:100萬地形圖、大部分省區圖以及大多數這一比例尺的地圖多采用Lambert投影。
蘭伯特投影是一種“等角圓錐投影”。
ArcGIS中的投影系一般帶有Lambert_Conformal_Conic等字樣，國際上用此投影編制1∶100萬地形圖和航空圖。
它就像是一個漏鬥罩在乒乓球上：
更标準的畫法，見下圖，有切和割兩種。
它沒有角度變形。
這個漏鬥的傾斜程度，就有三種：正軸、橫軸、斜軸。就是圓錐的方向和地軸的方向的問題。
2.2.5 Albers投影
中文名阿伯斯投影。又名“正軸等積割圓錐投影”，常用于我國各省市的投影。
和上一個蘭伯特圖形類似，就是一個圓錐與橢球面切割，進行等積投影。
給了官方WKID：102025.
與Lambert投影的差別大概就在一個等角，一個等積投影了。
2.2.6 Web墨卡托（WebMercator投影）
這是一個由Google提出的、為了自家GoogleMap而專門定義的一種投影，是墨卡托投影的一種變種。
主要是将地球橢球面當作正球面來投影，這就會導緻一定的誤差。
直接看看ArcGIS中的定義：
給了WKID：3857，名字是WGS_1984_Web_Mercator_Auxiliary_Sphere，意思就是在WGS84的GCS下進行web墨卡托投影。
現在，經常被百度地圖等網絡地圖采用，估計是Web程式員想省事吧。
3. GCS與PCS的轉換問題（ArcGIS實作）
3.1 GCS轉GCS
這就是屬于空間解析幾何裡的空間直角坐标系的移動、轉換問題，還有個更進階的說法——仿射變換。
我們知道，空間直角坐标系發生旋轉移動縮放，線上性代數裡再常見不過了。在攝影測量學中，旋轉矩陣就是連接配接像空間輔助坐标系與像空間坐标系的轉換參數（好像不是這倆坐标系，忘了）
欲将一個空間直角坐标系仿射到另一個坐标系的轉換，需要進行平移、旋轉、縮放三步，可以無序進行。
而平移、旋轉又有三個方向上的量，即平移向量=（dx,dy,dz）和旋轉角度（A,B,C），加上縮放比例s，完成一個不同的坐标系轉換，就需要7參數。
我們知道，地心坐标系是唯一的，即原點唯一，就說明平移向量是0向量，如果縮放比例是1，那麼旋轉角度（A,B,C）就是唯一的仿射參數，即3參數。
上圖左圖為坐标系平移，右圖為坐标系旋轉。縮放可以在任意階段進行。
——————以上為理論預備——————
說了這麼多理論，如何進行GCS轉換呢？假設一個資料源已經有了GCS，我們需要做的操作隻有一個：
打開如下工具：資料管理工具/投影和變換/投影，設定界面如下（以WGS1984轉西安80為例）：
别選錯了，這裡輸入輸出都是GCS。然後出現以下警告：
這就告訴你，需要參數轉換。在這裡，WGS84轉西安80，是屬于7參數轉換（地心轉參心），但是缺少7參數，就需要自己去測繪局買或者自己粗略算。
那麼如何定義一個地理坐标變換呢？
使用投影的旁邊的工具：
即可。見下圖：
使用Position_Vector方法（即7參數法）即可輸入7參數。我就不輸入了，各位有資料的可以繼續做。
關于3參數和7參數，在ArcGIS幫助文檔裡都寫有的，目錄如下：
3.2 GCS進行投影
這個就更簡單了。
随便挑個GCS，喜歡什麼用什麼，如西安80投影到UTM投影，都可以的。
仍然是上節提及的“投影工具”：
這樣就可以了，這裡是以WGS84的GCS投影到UTM的第50分度帶上。
如果是進行栅格資料的投影，就用“栅格”檔案夾下的“投影栅格”工具。
如果所需投影系沒有自己需要的GCS，就自定義一個：
這個視窗在Catalog浮動窗或者Catalog軟體裡打開某個資料的屬性，找到XY坐标系的頁籤，就可以建立。
【注】如果在資料的屬性頁的XY坐标系頁籤，或者圖層資料框的XY坐标系頁籤中修改GCS，這僅僅是改個名，坐标值還是原來的坐标系上的，這代表老坐标值并沒有轉換到新坐标系上。形象的說，就是換湯不換藥，這是不對的。我這裡說的用投影的方法，才是真正的坐标仿射變換到新的坐标系，使之更改數值，形成在新的坐标系下的新坐标值。
3.3 PCS轉PCS（重投影）
最常見的就是下載下傳了谷歌影像圖，是Web墨卡托的投影，但是實際又需要高斯投影，那麼基于WGS84這個GCS，就可以進行重投影。
在這裡，我就以UTM投影轉Web墨卡托投影為例：
這次是用“栅格”檔案夾下的“投影栅格”工具：
一般選好紅框的三個參數即可。
如果仍然提示需要地理坐标變換的警告，說明不是一個GCS的資料，需要3參數或者7參數轉換。
栅格資料類似，使用“投影工具”。
工具定位。
3.4 定義投影
這不是定義一個投影坐标系，而是給有坐标值的矢量或者栅格資料添加一個投影坐标系而已。
使用“定義投影”工具即可，既可以定義GCS，也可以定義PCS（這軟體的中文翻譯有點毛病）。
3.5 地理配準與空間校正
這個就不多說了，地理配準就是使螢幕坐标系的掃描地圖仿射、二次三次變換到真正投影坐标系的過程，自動加上目标資料的PCS。有了PCS後就會自動加上GCS。
地理配準主要是針對栅格資料。
空間校正則是針對矢量資料進行仿射、二次、三次變換。
3.6 可能出現的錯誤
3.6.1 顯示幾十萬位數字的“經緯度”
如上圖。
這是有了PCS後，在Catalog的資料屬性頁的XY坐标系頁籤裡，選中GCS，然後應用的結果。
原本是方裡網的數字，變成了GCS才有的度分秒。
解決方法：Catalog屬性頁将GCS改回原來的PCS即可。
3.6.2 顯示三位數、兩位數的“米”
這個暫時沒找到案例，曾經見過。
3.6.3 顯示一個幾乎是0，一個又很大很大位數的數字
這個屬于資料本身有GCS，但是在Catalog的XY坐标系頁籤裡給它添加PCS然後應用後，可能會出現的錯誤。
解決方法：在Catalog屬性頁的XY坐标系頁籤裡，選中原來的GCS然後應用即可。
如果資料本身沒有PCS，應該做的是投影操作。
3.6.4 大範圍的資料給了小範圍的投影
例如，整個中國地圖理應跨越好幾個投影帶，卻給了某一個投影帶的投影坐标系，這就會出現負值。如下圖，紅框箭頭是滑鼠的位置。
這個按理說應該用蘭伯特投影，但是卻給了一個UTM第49區的PCS，是以在中央經線靠左很多的位置會出現負值。
解決方法：這個直接做重投影即可。
以上四種錯誤比較常見，但是手頭沒有案例，以後遇到再發上來吧。
總結一下：
4. 火星坐标
火星坐标這個東西很常見，出現在網際網路地圖上。例如百度、騰訊、谷歌等地圖。
出于保密等政治因素，地圖的GCS坐标值，會被一種特殊的數學函數加密一次，會偏離真實坐标數百米的距離，但是回報到使用者端的卻是正确的位置資訊（也就是說你拿到GCS坐标也沒用，拿GPS到實地跑跟拿着地圖定位，可能會偏出幾十米甚至一百米的距離）。
火星坐标系原名國測局坐标系（GCJ-02），有篇文章比我寫的透徹多了，甚至給出了還原代碼，我放到參考資料了，有興趣的可以看看。
參考資料
你所不知的有趣投影方法
ArcGIS将WGS84坐标轉北京54或西安80
百度坐标（BD09）、國測局坐标（火星坐标，GCJ02）、和WGS84坐标系互轉
&ArcGIS 幫助文檔