1. 前言
今天我們介紹機器學習裡面大名鼎鼎的邏輯回歸。不要看他的名字裡面有“回歸”，但是它其實是個分類算法。它取名邏輯回歸主要是因為是從線性回歸轉變而來的。
2.邏輯回歸原理
2.1 邏輯回歸的由來
不知道讀者還記不記得線上性回歸中有一節廣義線性回歸介紹了在\(Y=Xθ\)的基礎上對\(Y\)進行函數變換為\(g(Y)=Xθ\)。而在邏輯回歸中，這個\(g()\)就是大名鼎鼎的\(Sigmoid(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\)函數。Sigmoid函數的圖像如下。Sigmoid函數會把自變量\(x\in\{-\infty,+\infty\}\)映射到\(y\in\{-1,+1\}\)上。
Sigmoid函數處處可導，導數很簡潔\(S^{\prime}(x)=S(x)(1-S(x))\)，它的導數圖像如下。從圖中可以看出導數範圍是\(S^\prime\in\{0,0.25\}\)，順便說下，在深度學習中，如果激活函數是Sigmoid的話，會出現梯度消失問題。
2.2 邏輯回歸的模型
線性回歸中的模型是：
\[Z_{\theta}={X}\theta
\]
Sigmoid的函數是：
\[S(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}
最後套上Sigmoid函數合并出來的結果：
\[h_{\theta}(X) = \frac{1}{1+e^{-X\theta}}
2.3 邏輯回歸的損失函數
邏輯回歸使用極大似然法來推導出損失函數。
我們知道，邏輯回歸的定義，假設我們的樣本輸出是0或者1兩類。那麼我們有：
\[P(y=1|x,\theta ) = h_{\theta}(x)
\[P(y=0|x,\theta ) = 1- h_{\theta}(x)
把兩種情況和一起就是如下公式：
\[P(y|x,\theta ) = h_{\theta}(x)^y(1-h_{\theta}(x))^{1-y}
得到了\(y\)的機率分布函數表達式，我們就可以用似然函數最大化來求解我們需要的模型系數\(\theta\)。最大似然函數\(L(\theta)\)：
\[L(\theta) = \prod\limits_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)}))^{y^{(i)}}(1-h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}
損失函數就是對數似然函數的負值
\[J(\theta) = -lnL(\theta) = -\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)}log(h_{\theta}(x^{(i)}))+ (1-y^{(i)})log(1-h_{\theta}(x^{(i)})))
2.4 邏輯回歸的損失函數的優化方法
對于邏輯回歸的損失函數極小化，有比較多的方法，最常見的有梯度下降法，坐标軸下降法，牛頓法等。
2.5 邏輯回歸的正則化
邏輯回歸也會面臨過拟合問題，是以我們也要考慮正則化。常見的有L1正則化和L2正則化。
L1正則化形式
\[J(\theta) = -lnL(\theta) + \alpha|\theta|
L2正則化形式
\[J(\theta) = -lnL(\theta) + \frac{1}{2}\alpha|\theta|^2
3. 總結
邏輯回歸假設資料服從伯努利分布，線上性回歸的基礎上，套了一個二分類的Sigmoid函數，使用極大似然法來推導出損失函數，用梯度下降法優化損失函數的一個判别式的分類算法。邏輯回歸的優缺點有一下幾點：
3.1 優點
- 實作簡單，廣泛的應用于工業問題上；
- 訓練速度較快。分類速度很快
- 記憶體占用少；
- 便利的觀測樣本機率分數，可解釋性強；
3.2 缺點
- 當特征空間很大時，邏輯回歸的性能不是很好；
- 一般準确度不太高
- 很難處理資料不平衡的問題